Date Archives Kasım 2018

Tüm bilimlerin gelecekteki anahtarı: Manifold!

 

-“Hocam, bunları bize neden anlatıyorsunuz ne işimize yarayacak ki?”

Yukarıdaki soru matematik öğretmenlerin en hoşlanmadığı sorudur. Zira bir matematikçi yaptığı işin işlerliğini düşünmez. Eğer öyle olsaydı bugün bilim bu noktaya gelemezdi. Gauss nerden bilebilir di ki ifade ettiği matematik sayesinde bugün bilgisayarlar veri analizi yapacak! O zaman bu soruya cevap vermek matematikçi için çok makul bir durum  olmaz. Ancak yine de biz matematikçiler bazen kendi merakımızın da etkisiyle bu soruya yanıt ararız. İşte bu sorunun muatabı olan konulardan biri de manifold kavramı. Riemann ın sistematik olarak ifade ettiği ve sonrasında gerek teorisi gerekse içeriği ile muzzam gelişen manifold kavramı bugün birçok bilimin temel ihtiyacı haline gelmiştir. Bu yazıda manifoldarın uygulamaları ve geleceği hakkında bildiklerimi sizlerle paylaşacağım.

 Manifold Nedir?

Bir manifold yerel olarak Öklidyen uzaydır. Bir manifoldu görselleştirmek için şu örnek verilebilir: piknik yapılan yerdeki küçük bir karınca piknik kalıntılarını topladığı alanları düz olarak görecektir. Ancak bu manzaraya yüksekten bakan biri aslında o bölgenin eğrilikli olduğunu görecektir. Yani lokal olarak düzdür. Benzer şekilde küre lokal olarak 2 - boyutlu Öklid düzlemi olup iki boyutlu bir manifolddur.

Manifold üzerinde harita dönüşümleri

Bir manifoldun formal tanımı şu şekildedir: M bir topolojik uzay olmak üzere M deki her noktanın bir komşuluğu n- boyutlu Öklid uzayındaki bir açık komşuluğa homeomorfik ise M ye n- boyutlu manifold denir. Bir M manifoldunun herbir p noktasının komşuluğunda manifolda teğet olan vektörlerin uzayı manifoldun tanjant uzayı olarak adlandırılır ve T_pM ile gösterilir. Eğer M üzerinde bir metrik (uzaklık fonksiyonu) tanımlı ise bu durumda M ‘ye bir Riemann manifoldu denir. Bazı şartlar altında bir Riemann manifoldu Öklid uzayının bir alt kümesi olarak düşünülebilir, bu durum Riemann manifoldunun Öklid uzayına gömülmesi olarak adlandırlır. Öklid uzayının yapısal araçları Riemann metriği yardımı ile manifold üzerine indirgenebilir.

Manifold bizlere metrikden bağımsız ve hatta topolojiden bağımsız geometri yapma olanağı sağlar. Örneğin

  • bir vektör uzayı bir manifolddur,
  • bir eğri 1-boyutlu bir manifolddur,
  • orijinden geçen doğrular kümesi (projektif uzay) bir manifolddur.

Bu liste genişletilebilir. Burada ilginç olan bir durum ise bu manifoldların hepsinin kendine has geometrisinin olmasıdır. Cebiri geometri ile, geometriyi cebir ile ; analizi geometri ile geometriyi analiz ile… birbirinden farklı gibi görünen bu alanların arasında zaruri bir ortaklık söz konusudur. İşte artık bu ortaklığın vazgeçilmez bir elemanı oldu: manifold. Analizci de artık manifold teorisi araçları kullanacak, hatta bu alana geometrik analiz adı veriliyor.

Bambaşka Bir Geometri 

Dedim ya manifoldun kendine has geometrisi var diye… Bu ne demek? İki nokta arasındaki en kısa uzaklık geometrik olarak ne belirtir?, diye sorsam “doğru” diyeceksiniz. Neden çünkü sizler Öklidçi geometriyle herşeyi görüyorsunuz. Oysa küre üzerinde iki nokta arası en kısa uzaklığın geometrik manası kürenin vüyük çemberleridir. O halde küre de doğrular büyük çemberlerdir. Bir manifoldun doğruların geodezikler denir.

 

Küre üzerinde geodezik üçgen, bu üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür.

Öklid uzayında doğrular ne ise manifold üzerinde de geodezikler o dur! Biz Öklid geometrisinde tüm şekilleri ve genel olarak tüm geometrik nesneleri doğrular yardımı ile ifade ediyoruz. Örneğin herhangi ikisi paralel olmayan 3 doğru ile bir üçgen elde edebiliriz. Aynı düşünceyi manifold içinde düşünebiliriz. Tabi bu durumda çok önemli farklar ortaya çıkar. Üçgenin iç açılarının toplamı 180 den farklı olabilir… İşte size Öklid dışı geometri!

Gauss, bir dahi, dünyanın gelmiş geçmiş en büyük bilim insanlarından biri! Ankara Üniversite sinden Cevat hocam “toprağın bol olsun Riccati” derdi, Riccati dif denk i anlatırken. “Euler i bilimden çıkartın dünya 100 yıl geriye gider” derdi. Bu sözler ve daha fazlası Gauss için az bile. O diferansiyel geometrinin kurucusudur ve bence manifold kavramının ilk yaratıcısıdır. Gauss için ne yazsak ne söylesek az. Biz konumuza devam edelim…

Gauss bir yüzeyin kendine has geometrisi olduğunu gösterdi ve eğrilik kavramını tanımladı. Sonra yüzeydeki bir üçgenin iç açıları ile bu eğrilik arasında bir bağlantı kurdu. Bu bağlantı yıllar sonra Bonnet tarafından yüzeyin topolojisi ile de ilişkilendirildi. Gauss-Bonnet teoremi ortaya çıktı: muhteşem! Gauss-Bonnet teoremi diferansiyel geometri ile topoloji arasındaki ilişkiyi sunan harikulade bir sonuç.

Burada K 2-boyutlu kompakt ve yönlendirilebilir Riemann manifoldunun Gauss eğriliği (teğet düzleminden uzaklaşma ölçüsü) , \partial M  M‘nin sınırı , k_g manifoldun sınırının geodezik eğriliği ve \chi(M) M‘nin Euler karakteristiğidir.  Gauss eğriliği manifoldun diferansiyel değişmezi (differomorfizmler altında invaryant kalıyor) ve Euler karakteristiği manifoldun topolojik değişmezidir (homeomorfizmler arasında invaryant kalıyor).

Detaylı bilgi için “Yüksek Lisans Tezim” okuyabilirsiniz.

 

Manifold Ne İşe Yarar

Peki bu kadar güçlü bir şekilde ortaya çıkan manifold doğada var mıdır? Kesinlikle evet! Başlıkta da ifade ettiğimiz gibi tüm bilim adamları ona başvuracak. Şimdi birlikte manifold uygulamalarına göz atalım.

  1. Genel relativite : Albert Einstein 1905 yılında özel relativite yi yayınladı. Einstein bu teoriyi uzun zamandır düşünüyordu ve çalışıyordu . Ancak güçlü matematik temellere ihtiyaç vardı. Tabii ki Öklid geometrisi buna yeterli gelmiyordu. Daha fazlasına ihtiyaç vardı. İşte Einstein in başvurması gereken alan Riemann geometrisiydi!
  2.  

Yandaki denklem Einstein alan denklemidir. Burada Rμν Ricci eğrilik tensörü, R skaler eğrilik, gμν metrik tensör , Λ kosmoloji sabiti,  G Newton gravitasyon sabiti , c ışık hızı , ve Tμν stres enerji tensörüdür (Tüm bu kavramları zaman içinde sayfamda bulcaksınız).  Bu denklemi sağlayan manifolda Einstein manifoldu adı verilmektedir. Einstein manifoldları diferansiyel geometricilerin de üzerinde yoğun olarak çalıştıkları bir alandır.

3. Bilgisayar Bilimi : 

Son zamanlarda bilgisayar bilimindeki gelişmeler giderecek daha çok matematiksel araca ihtiyaç duymaktadır. Hem problemin matematiksel modelinin yapılması hem de algoritmaların etkili ve hızlı olması daha geniş bir matematiksel perspektifin kullanılmasını gerektiriyor. İşte manifoldlar bilgisayar bilimindeki bu sorunun çözümünde başvurulan en güçlü matematiksel araç. 

  • Görüntü işlemede manifoldlar etkili bir biçimde kullanılmaktadır.  
  • Derin öğrenmede manifoldlar ve üzerindeki yapılardan yararlanılarak yeni CNN metodları geliştirilmiştir.
  • Manifold öğrenme veri madenciliği metodlarının üst düzeyde yapıldığı bir ver işleme yöntemidir. Son yıllarda hızla büyümektedir.

Diferansiyel Geometricinin En Güzel Kitapları!

Diferansiyel geometri; analiz, topoloji cebir den yararlanan ve diferansiyel araçlarla geometri yapılan bir alandır. Bu kadar fazla alandan beslenen bu muhteşem bilim dalı hiç süphesiz çalışması ve anlaması kolay olmayan bir alandır. Bu nedenle okunacak kitaplar ve kullanılacak kaynaklar oldukça önemlidir. Bir hocam derdi ki ” piyasa da basılmış iyi bir kitap varsa, ondan saha iyisini yazmadığın müddetçe yeni kitap basmak anlamsız!”. Bu görüşe kısmen katılmasamda bazı kitaplar varki onların yerlerini doldurmak imkansız. Bu yazıda genel olarak diferansiyel geometri ve ağırlıklı olarak da manifoldlar teorisi kitaplarından bahsedeceğim.

Yukarıdaki resimde kitaplağımda olan bazı önemli kaynakları paylaşmaktayım. Üst soldan alt sağa doğru;

  1. Spivak, Calculus on Manifolds: Spivak A Comprehensive Introduction to Differential Geometry adlı 5 ciltlik bir serinin yazarı. 70 li yıllarda yazılan bu set Spivak’ın iddiasına göre Amerika’nın ve dolayısıyla dünyanın en iyi diferansiyel geometri kitapları. Gerçekten de Spivak’ın bu muazzam serisi her tür bilgiye ulaşabileceğiniz koca bir dünya. Ayrıca Spivak’ın görseldeki Calculus on Manifolds da oldukça güzel bir kitap. Hacmi küçük olan bu kitapta Spivak çok değişkenli fonksiyonların analizinden başlayıp n-boyutlu zayda kalkülüs araçlarını vererek manifold üzerinde diferansiyel ve integrasyonu anlatıyor. Her geometricinin kütüphanesinde olması gereken bir eser!
  2.  Foundations of Differential Geometry 1-2 , Kobayashi-Nomizu: Bu kitap serisi diferansiyel geometrinin ansiklopedisi olarak kabul edilir. Her ne kadar eskimiş olsa da belirli bir tarihe kadar ki tüm diferansiyel geometri bilgilerini ulaşabilirsiniz. Biraz ağır bir kaynak olmakla birlikte evde bulunulası bir eser.
  3. Semi-Riemannian Geometry, Baret O’Nell, Semi-Riemann geometri kavramı genel relativite teorisinin gelişmesi ile ortaya çıkmış, Riemann geometrisinin daha genel halidir. Bu kitap bu alandaki söz sahibi önemli bir kaynaktır. Kitabı okuduğunuzda çok şey öğreneceksiniz. Ayrıca kitap Relativite teorisi üzerine uygulamalar içeriyor.
  4. Riemann Geometry,Peter Petersen, Günümüz terminolojisi ile yazılmış muhteşem bir eser. Mutlaka indirin ve zaman zaman okuyun!
  5. Structure On Manifolds, K.Yano ve M.Kon; Kentaro Yano ve Mashirio Kon diferansiyel geometriye çok büyük katkılar yapmış Japon geometricilerdir. Bu kitap ta bu alanda çalışanlar için bir başucu kaynağıdır. Manifolalrın diferansiyel geometrisininden başlar, kompleks, kontakt, Köhler ve daha birçok yapıyı detaylı olarak anlatır. Kitap eski olsa da terminoljisi şimdikine oldukça yakındır. Rahatlıkla anlayabilrsiniz.

6. Einstein Manifolds, Besse; Efsanelerin efsanesi… Hala edinmediysen hemen bul ve oku. Modern diferansiyel geometrinin hemen her aracını bu kitapta bulabilirsin.

Matematik Semboller İlk ne Zaman Kullanıldı

Matematik kendine has alfabesi ve kuralları olan bir dile sahiptir. Bu dilin en önemli araçları hiç kuşkusuz kullanılan sembollerdir. Bazen bir paragraf cümleyi, bazen sayamayacağımız kadar sayıyı bazen de kuramayacağımız tüm cümleleri tek bir semboller gösterebiliriz. Bu semboller çalışılan konuya göre değişiklik gösterse de genel olarak aynıdır. Peki ilk kez hangi sembol ne zaman kullanıldı. Aşağıda buna ilişkin bir liste göreceksiniz, oldukça ilginç!

Neden Matematik Öğrenmeliyiz?

Matematik insanoğlunun varolduğu günden bu yana süregelen en temel bilim dallarından biridir. Gauss’un deyimiyle matematik “tüm bilimlerin kraliçesi ve hizmetkarıdır”. Hiçbir bilim dalı yoktur ki öyle veya böyle matematikten yararlanmasın. Sanattan felsefeye, tıptan ekonomiye, spordan mühendisliğe hemen her alanda karşılaşılan problemlerin çözümünde matematiksel modellemeden yararlanılmaktadır. Örneğin bir hastaya verilen ilacın hastalığı yaratan virüslerle mücadelesi ve mücadelenin ne kadar sürecği matematiksel modellerle belirlenebilir.

Devam edecek!

Türevlenebilir Manifoldlara Giriş

ODTÜ Matematik bölümü öğretim üyesi Prof. Dr. Yıldıray OZAN hocamız muhteşem bir esere imza attı. “Türevlenebilir Manifoldlara Giriş” ismiyle Lisans ve Yüksek lisans öğrencileri için hazırladığı bu harika kitap esasen geometri çalışan doçent ve profesörlerde dahil tüm herkesin alıp okuyası bir kaynak. Kitap görünce dayanamayan biri olarak daha önce hocanın sayfasından PDF’sini indiriyip okumaya başladığım kitabın basıldığını duyunca hemen ODTÜ book store dan bir tane satın aldım. Kitabın kağıdı kalitesi çok güzel, fiyatıda gayet uygun; 20 TL.

Kitapta temel analiz, lineer cebir ve topoloji bilgileri çok güzel sunulmuş. Alıştırmalar çok güzel ve özenle seçilmiş. Özellikle yeterlik ve doçentlik sınavlarına hazırlanacak arkadaşların ısrarla çözmesi gereken güzel problemler var (bende çok azını çözebiliyorum ama umarım gelecekte sayıyı artırırım:). Genel olarak anlaşılır ve sade bir Türkçe ile yazılmış ve birçok kelimenin Türkçesi ilk defa verilmiş. Manifold kavramı çok sade ve kafa bulandırmadan anlatılmış, bilinen örneklerle doldurulmuş (manifold yerine çok katlı yazmaması da ayrı güzel). Vektör alanları ve vektör demetleri okuyucuya oldukça anlaşılır bir biçimde sunulmuş. Modern diferansiyel geometri cebirsel topolojinin temel kavramları olmadan yapılamamakta. Hocamız kitabında bu kavramları geometrici bakış açıyısıyla sunmuş. Ayrıca bu kitapta anlatılanların büyük çoğunluğunu Türkçe olarak hiçbir kaynakta bulamazsınız. Zaten kitabın bibliyografyasına baktığınızda bunu çok açık görebilirsiniz. Özellikle karakteristik sınıflarını (Euler ve Chern sınıfları) hocamız detayları ile anlatmış .

Kitap hakkında kabaca bilgi vermeye çalışsamda kitabı tam olarak anlayabilmek yıllar sürebilir:) Bu kitabı yüksek lisans veya doktora ders aşaması sürecinde işleyebilmek isterdim. Kimbilir belki bir gün bir üniversite de ders olarak vermek kısmet olur. Saygıdeğer hocama emeğinden ötürü çok teşekkür ediyoruz. Ülkemizin çok kıymetli alanında uzman diğer yurt dışı doktoralı hocalarından da bu şekilde geometriciler için yazılmış benzer eserler bekliyoruz. Hatta çeviri dahi yapılsa çok kıymetli olacağı kanaatindeyim.

Tüm geometricilere başarılar. Mutlaka bir tane alın!

Yıldıray hocanın web sayfası: http://users.metu.edu.tr/ozan/

Kitabı ODTÜ book store den alabilirsiniz ancak nette şu sayfada da var: http://www.nadirkitap.com/turevlenebilir-manifoldlara-giris-yildiray-ozan-kitap7484086.html

Matematik Nasıl Çalışılmalı?

Matematik dersi birçok öğrenci için en keyfili ve sevilen bir ders iken çok daha fazlasının korkulu rüyası olmuştur. Bu durum için kimileri günahı öğretmenlerin boynuna atsa da aslında bu doğru bir yaklaşım değil. Zira matematiğe karşı oluşan algı ülkemize özgü değil dünyanın birçok yerinde aynı. Ancak bizde eğitimde eksikliklerin olduğu ve bu eksiklerin yarattığı yetersizliklerin beraberinde başarısızlığı doğurduğu su götürmez bir gerçek. Tüm bunlara karşın ağlasak da sızlasak da , keyif alsak da almasak da matematik yapılması gereken önemli bir ders ve iyi bir gelecek için aşılması gereken zor bir basamaktır. Peki ne yapmalı, matematik başarısını nasıl artırabiliriz? Bu yazıda bu konulara değinmeye çalışacağım.

Eğer bir kimyager, biyolog veya tıp bilimcisi iseniz bir laboratuvara ve bu laboratuvarda kullanılacak malzemeye ihtiyaç duyarsınız. Diğer yandan eğer sosyal bilimci iseniz insana ihtiyaç duyarsınız. Ama eğer matematik çalışacaksanız iki “şey”e ihtiyacınız var; kalem ve kağıt! Bu iki “şey”e birde merak duygunuzu ekleyebilirseniz işte o zaman matematik sizin için en keyifli araç olur.

Matematik dersinden başarılı olmak toplum nezdinde kayda değer bir davranıştır. Örneğin ilk okula başladığınızda sizi gören amca ve teyzeler size ilk olarak çarpım tablosundan sorular sorarlar. Eğer cevabı zamanında ve doğru verebilirseniz “tamam bu çocuğun kafası çalışıyor” derler. Buna güzel örnek Hükumet Kadın filmindeki şu şahnedir;

Burada matematik bilgisine olan ihtiyaç ve bu ihtiyacın gerekliliğine olan saygı ironik biçimde vurgulanmıştır. O halde matematik dersine çalışmak ve öğrenmek günlük sıradan aktivitelerden farksızdır. Zira günlük yaşamın her kademesinde sizde matematik kavramlarından yararlanırsınız.

Albert Einstein; “matematik hakkındaki endişeleriniz sizi korkutmasın inanın benimkiler sizinkilerden daha fazla” demiştir. Dünyanın iyi geometricilerinden Japon geometrici  Kentaro Yano 1900’lerin başlarında ortaokul öğrencisiyken Albert Einstein görelilik kuramını anlatmak üzere Japonya’ya gider ve Yano’nun okulunu da ziyaret eder. Yano onu ilgiyle dinler ve eve gidip bu konuyu çalışmaya karar verir.  Ancak Yano babasına konuyu dünyada sadece bir düzine insanın anlayabildiğini söyler ve çok zor olduğunu ifade ederek bu işi yapamayacağını düşünür. Bu sırada heykeltıraş olan babası  Yano’ya ” Sevgili Yano ben bir sanatkar olarak fizikten anlamam. Görelilik kuramı çok zor bir konu olabilir, ama sonuçta bu kuramı ortaya atan ve geliştiren, anlayan da senin gibi bir insan. O halde sende çalışarak pekala bu konuyu anlayabilirsin” der.  Yano daha sonra lise yıllarında aynı zamanda bir profesör olan fizik öğretmeninin yönlendirmesi ile rölativite öğrenebilmek için Riemann geometrisi bilmesi gerektiğini farkederek matematiğe yönelir. Bu hikayede iki sonuç çıkarabiliriz: birincisi, hemen her kuramın temelini ve geleceğini matematiğin oluşturduğu, ikincisi ise konunun zor olması değil öğrenmek için emek harcanmasının önemli olmasıdır.

O halde matematik çalışırken ilk olarak yapılması gereken;

Matematiği başarmak zor değildir. Önemli olan başarmak için çalışmak ve başarmayı istemektir.

ikincisi

Matematiğin salt bir sınav aracı olarak görülmemesi ve öğrenme odaklı çalışılması gerekmektedir.

Sonrasında şu maddeleri sıralayabiliriz:

Temiz bir kağıt veya defter, silgi ve kesinlikle kurşun kalem kullanılmalıdır.
Sorular anlaşılmadan atlanmamalı ve yapılamayan sorular mutlaka birinden yardım alınarak yapılabilmelidir. Hatta Google üzerinden arama yaparak çözülemeyen sorunun çözümlü benzeri bulunabilir. Bunun yanında www.matkafasi.com gibi web siteleri ziyaret edilerek soru sorulabilir ve çözülen sorulara bakılabilir.
ODTÜ matematik bölümü hocalarından Prof. Dr. Yıldıray Ozan “Türevlenebilir Manifoldlara Giriş” kitabında şöyle demiştir; “matematik öğrenmek bisiklet sürmeyi öğrenmeye benzer, nasıl ki bisiklete binmeden sürmeyi öğrenemezsiniz soru-problem çözmeden de matematik öğrenemezsiniz”. Bunun için
Bol bol problem çözmelisiniz ,
doğru kaynaklar seçmeli ve boşa zaman harcamamalısınız
hedefinize yönelik sorular çözmelisiniz (örneğin üniversite sınavlarına hazırlanıyorsanız olimpiyat problemi çözmenize gerek yok ),
zamanınızı iyi değerlendirmeli ve soru tipleri üzerine yoğunlaşmalısınız,
Her girdiğiniz derste not tutmalısınız,
Okulda veya izlediğiniz videolarda hocalarınızın çözdüğü problemleri kesinlikle tekrar temiz bir kağıda çözmeli ve mantığını anlamaya çalışmalısınız,
DEVAM EDECEK