Posts by İnan Ünal

Matematiğin Modern Uygulayıcısı: Diferansiyel Geometri!

Matematiği pür ve uygulamalı olarak ikiye ayırma işi oldukça eski bir gelenek. Bu yazımızda uygulamalı matematik algısının artık değişmesi gerektiğine dair fikirlerimi diferansiyel geometri penceresinden paylaşacağım.

Uygulamalı Matematikçi Kimdir?

Uygulamalı matematik denildiğinde matematik sonuçların başka alanlara taşınması anlaşılmaktadır. Pür matematikçiler matematiği matematik için yaparken uygulamalı matematikçilerin diğer bilim ihtiyaçlarını da göz önüne aldıkları söylenebilir. Ancak uygulamalı matematikçiler de kendi aralarında ayrılmaktadır. Kimi uygulamalı matematikçiler yeni uygulamaların geliştirilmesi veya mevcut olanların daha da iyileştirilmesi için çalışırken kimileri ise diğer alanlardaki matematik modelleri çözme uğraşısı içerisindeler. Birinci grup aynı zamanda teorik sonuçlar da üretebilmektedir. İkinci grup ise hızlı ve anlaşılır ama matematik açısından çok kayda değer göülemeyecek neticelere erişebilmektedir. Diğer yandan operatör teorisi çalışanlara da uygulamalı matematikçi denilmektedir. Zira bu konular diferansiyel denklemler için aranacak çözüm metotlarını sistematik hale getirerek genelleştirmektedir. Sonuç olarak kabaca şunu söyleyebiliriz; uygulamalı matematik denildiğinde diferansiyel denklemlere çözümler üretecek çalışmalar yapılması anlaşılabilir. Aslında burada diferansiyel lafını kaldırırsak, her matematikçi bir çeşit denkleme çözüm arayışında olduğu varsayılırsa her matematikçinin bir uygulamalı matematikçi olduğu söylenebilir.

Diferansiyel Denklemlerin Evrimi

Bir diferansiyel denklem denildiğinde, içerisinde türev veya diferansiyel olan denklem anlaşılır. Newton-Liebnitz zamanına gidersek anlaşılması ve çözülmesi kolay birçok diferansiyel denklem ile karşılaşabiliriz. Newton fiziğinde bir çok diferansiyel denklem görebiliriz. Ancak bugün geldiğimiz noktada diferansiyel denklem kavramı çok başka bir noktadadır. Burada adi veya kısmi ayırımı yapmıyorum. Örneğin Einstein alan denklemi en güzel diferansiyel denklemlerden biridir. Diğer yandan eğrileri, yüzeyleri ve manifoldları çözüm kabul eden diferansiyel denklemler bulunmaktadır. Bu denklemleri çözebilmek veya çözümlerini yorumlayabilmek için ileri diferansiyel geometri teknikleri kullanıyoruz.

Diferansiyel Geometri Nedir?

Bilim dalları çeşitli özelliklerine göre alt dallara ayrılır. Matematik biliminin alt dalları şu şekildedir;

  • Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi
  • Topoloji
  • Cebir
  • Sayılar Teorisi
  • Uygulamalı Matematik
  • Geometri
  • Bilgisayar Bilimleri
  • Matematiğin Temelleri ve Lojik

Anabilim dalı sayısı üniversiteye göre değişkenlik gösterebilir. Ama birkaç tanesi her yerde aynıdır. En önemli anabilim dallarından biri geometridir. Geometri insanlığın tarihi kadar eski bir geçmişe sahiptir. Matematiğin diğer anabilim dalları geometriden ayrı düşünülemeyeceği gibi geometri de diğer anabilim dallarından ayrı düşünülemez. Geometriyi Öklid geometrisi ve Öklid dışı geometriler şeklinde ikiye ayırabiliriz. Öklid geometrisi en basit haliyle lisede gördüğümüz, öğrendiğimiz geometridir. Bu geometri Öklid’în aksiyomlarına dayanmaktadır. Öklid dışı geometri beşinci aksiyomun tartışmalarının bir sonucu olarak ortaya çıktı. Geometride en önemli kavramlardan biri metriktir. Öklid geometrisinde Öklid metriği kullanılır. Bildiğimiz üzere farklı metrikler de vardır. Bazı geometriler metriğe göre isim almaktadır. Örneğin taxicab geometri, Öklid metriği yerine maksimum metriğinin kullanılması ile oluşturulmuş bir geometridir.

Öklid dışı geometrilerim bir başka önemli örneği olan küresel geometri küre üzerinde yapılan ve doğruları kürenin büyük çemberleri olan geometridir. Bunların dışında, hiperbolik geometri ve projektif geometri gibi farklı geometriler bulunmaktadır. Listeyi daha da genişletebiliriz. Geometride metrik ile birlikte ortaya çıkan bir topoloji de mevcuttur. Bunun yanında geometriyi cebirsel olarak inceleyen cebirsel geometri alanı bulunmaktadır.

Gerek Öklid geometrisi gerekse Öklid dışı geometri kalkülüs araçları kullanılarak çalışılabilmektedir. Bu sisteme diferansiyel geometri adını veriyoruz. Yani, Diferansiyel geometri, geometrik nesnelerin diferansiyel ve integral hesap kullanılarak incelenmesi olarak tanımlanabilir.

Diferansiyel Geometriyi kimler geliştirdi? 

Diferansiyel geometrinin kurucusu Carl Friedrich Gauss olarak kabul edilir. Gauss eğrilerin ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi alanına önemli katkılar sunmuş ve yaptığı çalışmalar modern diferansiyel geometrinin temelini oluşturmuştur.  Hala atıf almayı başarabilen Gauss’un ” Eğriler ve yüzeyler üzerinde genel araştırmalar ” isimli makalesi bu alanın öncü çalışmasıdır. Sonnrasında Riemann’ın sınırları zorlayarak Gauss’un düşüncelerini hayata geçirmesi ile manifold kavramı geometri dünyasına girmiştir. Riemann yüseylerin yüksek boyutlara genişlemesi olarak Almanca “Mannigfaltigkeit” terimini kullanmış ve bu terim William Kingdon Clifford tarafından “manifoldness” olarak çevrilmiştir.  

Diferansiyel geometrinin uygulamaları nelerdir? Diferansiyel geometri ne işe yarar?

Diferansiyel geometrinin matematik, fizik, mühendislik ve tıp gibi hemen her alanda uygulamaları bulunmaktadır. Diferansiyel denklemlerin olduğu her alanda diferansiyel geometri kullanılabilir. Özellikle çözümleri Öklid dışı geometrik yapılar olan diferansiyel denklemler diferansiyel geometrinin daha ileri tekniklerinin uygulanabileceği alanlardır.

Bilgisayar biliminde diferansiyel geometri araçlarının kullanılması son yıllarda giderek yaygınlaşmaktadır. Eğriler ve yüzeylerin yanısıra son zamanlarda veri analizi, görüntü ve ses işleme, veri madenciliği gibi birçok alanda manifoldlar teorisi uygulamaları bulunmaktadır.

Bugün geldiğimiz noktada, diferansiyel geometrinin hemen her alanda uygulamasının olduğunu söylemek yanlış olmaz. Öyle ki bu uygulamalar uygulamalı matematik kavramının şeklini değiştirmiştir. Ancak, matematikçiler arasında bu kabulün henüz tam olarak yerleşmediğini söyleyebiliriz. Diferansiyel geometrinin artan öneminin kabullenilmesinin biraz daha zaman alacağı kanaatindeyim.

Zor görünen teoriler, anlaşıldığında bilime çağ atlatır!

Bugün hayatımızın her alanına nüfuz etmiş olan yapay zeka teknolojisinin teorik temelleri çok eskiye dayanmaktadır. Ancak bu gelişimin süreci bugünkü yapay zeka kullanımı ile kıyaslanırsa aradaki hız farkı asırlara bedel olur. Einstein in relativite teorisi ilk ortaya çıktığında çok az insan anlamıştı. Bugün gelinen noktada veri bilimine dahi ışık tutmaktadır. Manifold kavramı da anlaşılması kolay olmayan bir teoriyi barındırmaktadır. Ama bu eşik aşıldığında ise ortaya muazzam sonuçlar çıkmaktadır. Perelman Poincare sanısını diferansiyel geometri tekniklerini, Ricci flow diferansiyel denklemine uygulayarak çözmüştür ve matematik ile fizik başta olmak üzere bilim adeta çağ atlamıştır. Bu diferansiyel geometri daha ne çağlar atalatacak!

Diferansiyel geometri çalışmaları nelerdir? 

Ülkemizde diferansiyel geometri alanında oldukça güzel çalışmalar yapılmaktadır.  Sürekli olarak bu alanda çalışan genç bilim insanları yetişmektedir.  Her yıl uluslararası geometri sempozyumu düzenlenmekte ve bu sempozyumda en çok çalışma yine diferansiyel geometri alanında yapılmaktadır.  Matematik bölümlerinin tamamında olmasa da büyük bir bölümünde diferansiyel geometri alanında doktora yapmış hocalarımız bulunmaktadır.  Ben diferansiyel geometri çalışmalarına olan ihtiyacın her geçen gün daha da artacağı kanaatindeyim.  Bu nedenle genç matematikçi arkadaşlarımı diferansiyel geometri alanında bilimsel çalışma yapmaya teşvik etmek yanlış olmaz.  yavrum

 Sonuç olarak diferansiyel geometri matematiğin en önemli çalışma alanlarından biridir.  Çalışılması çok kolay olmasa da oldukça eğlenceli olduğunu söyleyebilirim. Bu önemli çalışma alanına yönelecek tüm arakdaşlara başarılar dilerim. Sorularınızı ve yorumlarınızı iletebilirsiniz. 

Matematikle kalın!

LATEX İLE MATEMATİK YAZIMI

Hepimiz yoğun olarak LateX kullanıyoruz. Kimimiz, latex komutları yazmakta zorlanıyoruz Ben de onlardan biriydim. Latex öğrenme konsunda yaşadığım zorluklar, deneyimlerimi paylaşmam gerektiğinin göstergesiydi. Bu amaçla oluşturduğum web sayfası üzerinden deneyimlerimi sizlerle paylaşacağım. Ayrıca videolar çekerek Tensör Akademi youtube kanalına yükleyeceğim.

Yapay Zekanın Matematiği

Yapay zeka çalışmak istediğinizde okuyacağınız her kaynağın size önerisi iyi bir matematik altyapısının gerektiğidir. Yapay zekanın alt dalı olan makine öğrenmesini anlamak, modelleri uygulayabilmek ve yeni bir model geliştirebilmek için belirli konulara vakıf olmak şart. Peki nedir bunlar?

Yapay Zekanın matematiği hangi konuları kapsıyor?

Öncelikle , kalkülüs olmazsa olmazımız… Kalkülüse hakim olmalıyız. İyi bir kalkülüs bilgisinin üstüne;

  • İyi seviye lineer cebir bilgisi
  • Diferansiyel denklemlere vakıf olma
  • İyi seviye ayrık matematik bilgisi
  • Olmazsa olmazımız; olasılık ve istatistik
  • Biraz sayısal yöntemler
  • Analitik geometri

başlıklarını ekleyebiliriz. Aslında bu derslerin tümünü lisansta veriyoruz. Ama okunduğu zaman öğrenci kavramların gerekiliği konusunu çok anlayamıyor. Daha sonra konuyu çalışmak istediğinde ise eksikleriyle yüzleşiyor. Bu nedenle lisans öğrencilerinin eğitimleri sırasında matematik derslerine ilgi göstermelerini ve iyi bir şekilde öğrenmelerini tavsiye ediyorum. Daha sonra bu eksikleri gidermek zorlaşıyor.

Yapay öğrenme matematik kursu

2010 yılında 15 günlük matematik köyü ziyaretim olmuştu. Muhteşem bir deneyimdi. Geçen zaman içinde ikinci kez ziyaret etme şansı yakalayamadım. İki yıl kadar önce yapay öğrenme için matematik kursuna da katılamadım. Bu yıl pandemi nedeniyle tüm etkinlikler uzaktan yapılıyor. Yapay Öğrenme için Matematik kursu da uzaktan yapılınca e ben de fırsatı kaçırmadım! Şimdi diyeceksiniz ki iyi de hocam matematik doktoru adamsın ne işin var o kursta?
Özellikle son 3 yıldır derin öğrenmenin teorik temelleri üzerine çalışıyorum. Her ne kadar bu amaçla yazılmış kaynaklar olsa da hiçbirinde bu kursta öğrendiklerimi alamadım. Çünkü kurs İşin mutfağında yıllarını geçirmiş çok muhterem hocalar tarafından verildi. Özellikle Prof. Dr. İlker Birbil hocayı dinlemek çok büyük bir keyifti. Gerçekten muhteşem anlattı. Taylan hoca, Kamer hoca, Sinan hoca, Figen hoca hepsi harikaydı. Bu çok değerli atmosferi yarattığı için Nesin Matematik Köyü ekibine ve tabii ki Prof. Dr. Ali Nesin hocaya çok teşekkür ederim.
Makine öğrenmesi çalışmakta olan tüm dostlara mutlaka ama mutlaka bu dersleri takip etmelerini tavsiye ediyorum. Halihazırda ben de bu konulara kafa yoruyorum. İlgi duyanlar olursa bana yazmaktan çekinmesin.
En değerli bilgi paylaşılan bilgidir. Tüm emek sahiplerine şükranlarımı sunarım.

Kursta hangi konular anlatıldı?

  1. Lineer Cebir ( Denklem sistemleri, vektörler)
  2. Analitik Geometri (Norm, iç çarpım vb. kavramlar)
  3. Vektör Analizi ( yöne göre türev, yüksek boyutta kalkülüs)
  4. Olasılık
  5. Optimizasyon
  6. Destek vektör makineleri

anlatılan başlıca konulardı. Matematiği bilmek ayrı birşey uygulayabilmek ayrı…

Tensör Akademi Youtube Kanalı yayın hayatına başladı

Zaman hızla akıp giderken gelişen teknoloji ve koşullar ile birlikte yeni ihtiyaçlar da hasıl oluyor. Birikimlerimi ve bilgimi paylaşmak üzere çağın gereklerine ayak uydururak açtığım youtube kanalı “Tensör Akademi” yayın hayatına başladı. Henüz çiçeği burnundaki kanalımda ilk etapta okuttuğum dersler için oluşturduğum bazı videoları ekleyeceğim.

Kanal hakkında daha fazlası için bir sayfa oluşturdum.

Kanala ulaşmak için tıklayınız. Abone olup like atmayı unutmayın…:))))))))

RIGA-2021’e katıldım

Romanya’da her yıl düzenlenen “Riemannian Geometry and Apllications” isimli konferans bu yıl online olarak düzenlendi. Konferansa çok sağlam geometriciler katıldı. Ülkemizden Bayram Şahin, Cihan Özgür, Cengizhan Murathan, Kadri Arslan ve Ahmet Yıldız gibi hocalarımız katılırken, Hindistan’dan Mukut Mani Tripathi ve U.C.De başta olmak üzere birçok geometrici katıldı. Romanya dışında, Sırbistan ve Bulgaristan da çok önemli geometriciler yer aldı. Son gün ise dünyaca ünlü diferensiyel geometrici B.Y. Chen konuşma verdi. Son derece kaliteli ve verimli geçen konferansta “Generalized Quasi-Einstein Normal Metric Contact Pairs” isimli bir sunum yaptım. Çok faydalı ve güzel bir konferanstı. Başta Adela Mihai olmak üzere emeği geçen tüm hocalarıma teşekkür ederim.

Riemann Geometrisinde Eğrilik Tensörleri

Riemann geometrisinin en önemli konusu eğrilik kavramıdır. Bir Riemann manifoldunu (genel olarak bir manifoldu) Öklidyen olmaktan ayıran o manifoldun Riemann eğriliğidir. Riemann eğrilik tensörünün bir ayrışımından elde edilen Weyl konformal eğrilik tensörü başta relativite olmak üzere hem diferansiyel geometride hem de fizikde oldukça önemli uygulamaları olan bir eğrilik tensörüdür. Bu tensör dışında konsörkılır,konharmonik ve projektif eğrilik tensörleri de bulunmaktadır.

03.01.2020 de Türkiye Matematik Kulübü tarafından organize edilen çevrimiçi geometri çalıştayında, Riemann geometrisindeki önemli eğrilik tensörlerini konuştuk. Konuşmalar youtube kanalında canlı yayınlandı. Dilediğiniz zaman izleyebilirsiniz:) İzlemek için tıklayınız.

Eğrilik tensörleri hakkında genel bir bilgilendirme için doktora tezimin giriş kısmını okumanızı öneririm.

Genel olarak tensörler ve eğrilik tensörleri hakkında detaylı bilgiler sayfamda olacak.

Konuşma hakkındaki soru ve önerilerinizi aşağıdaki form aracılığı ile ieltebilirsiniz.