Posts in Blog

GAUSS, RIEMANN VE ÖKLİD DIŞI GEOMETRİ

Öklid M.Ö 300’lerde yazmış olduğu elemanlar isimli 13 ciltlik eserinde, bir noktanın tarifinden başlayarak bugünkü matematiğin modern dilinin temellerini atmış ve geometri aksiyomlarını inşa etmiştir. Öklid sistematik bir biçimde objeleri tarif ederek birçok önemli teoremin ispatını sunmuştur. Öyle ki Öklid’in asal sayıların sonsuzluğu için verdiği ispat hala matematiğin en sade ve güzel ispatı olarak kabul edilir. Elemanlar kitabının önemi içerdiği geometri bilgilerinden daha çok bu bilgileri sistematik bir yapı içinde sunmasındadır . Her yeni bilgi sadece daha önce kanıtlanmış bilgiler kullanılarak ve belli bir akıl yürütme düzeni içinde kanıtlanır. Öklid öncelikle nokta, doğru ve düzlem gibi temel kavramları tanımlamış ve aşağıdaki beş aksiyomu doğru kabul etmiştir.

  1. Herhangi bir noktadan başka herhangi bir noktaya bir doğru çizilebilir.
  2. Bir doğru istenildiği kadar yine bir doğru olacak şekilde uzatılabilir.
  3. Herhangi bir merkez ve bir uzunluk verildiğinde bir çember çizilebilir.
  4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
  5. Eğer bir doğru, iki doğruyu kestiğinde bu doğrunun aynı tarafındaki iç açılar iki dik açıdan küçükse, bu iki doğru o yönde uzatıldıklarında kesişir.

Bu beş aksiyom Öklid geometrisinin inşasını oluşturur. Tüm tanım ve teoremlerin ifade edilmesi ve ispatlanması bu aksiyomlara dayanılarak yapılır. Beşinci aksiyom “paralellik aksiyomu” olarak adlandırılır.

Paralellik aksiyomu

Aksiyoma göre a ve b açılarının toplamı iki dik açı toplamından küçükse l ve l’ doğruları açıların olduğu tarafta düzlemin bir noktasında kesişir.

Ancak bu durum matematiksel kesinlik açısından yeterli belirginliğe sahip değildir. Zira açıların seçimine bağlı olarak doğruların kesiştikleri noktayı tespit etmek mümkün değildir. Ayrıca bu aksiyom kesişmeyen doğrular paraleldir şeklinde ifade edilebilir. Oysa ki bazı eğrilerin grafikleri bir doğruya asimptotik olarak yaklaşmasına karşın (paralel değiller) hiçbir noktada kesişmezler. Örneğin y=1/x eğrisi x değerleri büyüdükçe oy-eksenine yaklaşır ancak asla kesişmez.

y=1/x eğrisi

Öklid geometrisinin bu sorunlu aksiyomunun Öklid tarafından bilindiği iddia edilmektedir. Bu aksiyomu kitabında 29.önermeye kadar kullanmaması bu düşünceyi destekler niteliktedir. Beşinci aksiyomun doğrulanabilir olmaması Öklid geometrisinin en temel eksikliğidir. Bununla birlikte doğadaki birçok olayın açıklanmasında bu geometrinin kusursuz bir şekilde işlemesi oluşturulan modellerin bu geometriye dayandırılması ile bağlantılı olduğu söylenebilir.

Paralellik aksiyomunun tutarlılığını ortaya koyabilmek ve Öklid geometrisini bu problemden kurtarmak için aksiyom, farklı şekillerde ifade edilmeye çalışılmış; daha iyi bir aksiyom ile değiştirilmesi düşünülmüş; diğer aksiyom ve önermelerden teorem olarak elde edilmek istenmiş ve matematikçilerin yüzyıllarca uğraştığı bir problem haline dönüşmüştür. Bu çalışmaların neticesinde paralellik aksiyomuna denk olan birçok yeni aksiyom ortaya konulmuş ancak bu çabalar paralellik aksiyomunu geçerli kılmakta işe yaramamış ve yeni geometrilerin doğmasına vesile olmuştur.

Tarih boyunca başta metamatikçiler olmak üzere birçok bilim insanının ispatlamak için yoğun çaba sarf ettiği beşinci postulat, bilime farklı bir yön vermiştir. İspatlanamayan veya ispatı mümkün olmayan bir kavramın olayın dışına çıkarılarak olaya bakılması sınırları zorlayan ve anlamlandırılması kolay olmayan bir durum olmuştur. İşte Öklid dışı geometri kavramı bu sınırları ezip geçmiştir!

Öklid dışı geometri fikri 5.postulatın olmadığı bir geometrinin düşünülmesi ile ortaya çıkmıştır. Bu postulatın kanıtlanamaması veya yerine kanıtlanabilen eşdeğer bir önermenin konulamaması, postulatın hiç olmadığı bir geometrinin de mümkün olup-olamayacağını düşündürmüştür. Bolyai ve Lobachevsky bu sorunu ele alarak farklı geometrileri ortaya koymuşlardır. Bu iki matematikçi birbirlerinden bağımsız olarak beşinci postulatın olmadığı, birbirlerine benzer geometriler inşa etmişlerdir. Ancak Lobachevsky Bolyai’den daha önce çalışmasını yayınlamıştır.


Öklid dışı geometrilerin ortaya çıkışı beraberinde bilimin cevap aradığı önemli problemlerin çözümü için gerekli araçların ortaya çıkmasını da getirmiştir. Gauss, Leibniz ve Newton’ın yaptıklarını yani kalkülüsü geometri ile birleştirerek diferansiyel geometrinin ortaya çıkmasını sağlamıştır. Böylece bir eğrinin eğriliği kavramını yüzeyler için de tanımlayarak, yüzeyin iç geometrisinin bulunduğu uzayın geometrisinden bağımsız olduğunu göstermiştir. Gauss’un bu tespiti “Theorema Egregium” yani muhteşem teorem olarak bilinmektedir. Gauss yüzeylerin iç geometrisi ile yüzeyin içerisinde yattığı uzayın geometrisi arasındaki eşitlikleri tanımlamış ve yüzeyler için eğrilikleri ortaya koymuştur. Bir yüzeyin üzerinde bir noktada teğet olan uzaydan (o nokta etrafında) uzaklaşma ölçüsü Gauss eğriliği olarak tanımlanır. Aslında burada eğrilik yüzeyin Öklid’yen olmaktan ne kadar saptığını göstermektedir. Gauss eğriliği yüzeyin diferansiyel deformasyonları altında (yani bir diferansiyellenebilir fonksiyon altında dönüştürülmesi) değişmez (invaryant) kalır. Bu özelliği onun yüzeylerin sınıflandırılmasında ne kadar önemli bir araç olduğunu gösterir.

Öklid dışı geometrilerin beşinci postulatın olmadığı geometriler olduğu durumu Gauss’un bu çalışmaları sayesinde farklı bir boyut kazanmıştır. Zira Gauss bir yüzeyin eğriliği ile o yüzey üzerindeki üçgenlerin iç açıları toplamı arasında ilişki kurmuş ve yüzeyleri sınıflandırabilmiştir.

Küre üzerindeki bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür!

Geometri de nesnelerin uzaklıklarla ifade edilmesi Öklid geometrinin en temel özelliğidir. Ancak Euler’in sahneye çıkmasıyla bu algıyı değiştirecek önemli bir alan doğmuştur: Topoloji. Topoloji uzayların içerdiği noktalara göre ifade edilmesine vesile olan önemli bir kavramdır. Euler’in Königsberg köprü problemlerinin çözümsüzlüğü üzerine yaptığı ispatı aslında Öklid dışı geometrilerin ortaya çıkmasına benzerdir. Bu matematikte çözümsüz problemlerin olabileceğini ve bu çözümsüzlüğün çok önemli gelişmelere muktedir olacağını gösteriyordu.

Eulerin bu probleme yaklaşımı graf teoriyi doğurmuştur. Bu sorunu çözmek için ortaya koyduğu Euler karakteristiği daha sonra yüzeylere taşınmıştır. Bu karakteristik ile Gauss eğriliği arasında “Gauss-Bonnet Teoremi” olarak bilinen önemli bir ilişki vardır. Euler karakteristiği yüzeyin topolojik değişmezidir, yani topolojik dönüşümler (sürekli dönüşümler) altında değişmez kalmaktadır. Topolojik değişmezler uzayların sınıflandırılmasında kullanılan önemli araçlardır.

Gauss-Bonnet teoremi yüzeyin bir diferansiyel değişmezi olan Gauss eğriliği ile Euler karakteristiği arasındaki ilişkiyi vermektedir.


10 Haziran 1854 de, Riemann “Goemetrinin kaynağını oluşturan hipotez üzerine (On The Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry)” isimli bir başlangıç dersi vermişti . Riemann bu dersi matematikçi olmayanların da algılayabileceği şekilde anlatabilmek için çok çalışmıştı. Ancak gerek içerdiği analitik yaklaşım ve gerekse düşüncesinin derinliği bakımından bu çok mümkün değildi. Öyle ki Gauss Riemann’ın düşüncesindeki derinliğe olan saygısını kendisinden umulmadık bir biçimde açıkça ilan etti. Turnbull büyük matematikçileri anlattığı eserinde Riemann’ın yaptığı çalışmayı şu şekilde ifade etmektedir; “Birkaç sayfalık çığır açan tezinde [Riemann], yalnızca herhangi bir boyuttaki uzay için geometriyi düşünmekle kalmadı, aynı zamanda, önceki üç geometri tipinin [Öklid, küresel ve Lobachevski] genel bir geometrinin özel örnekleri olduğunu gösterdi”. Böylece Riemann Öklid ve Öklid dışı geometrilerin genel bir halini ortaya koymuş oldu. Bugün bu geometri Riemann geometrisi olarak bilinmektedir. Riemann‘ın bu başlangıç dersinde fikirlerini analitik olarak derinlemesine incelediği ancak bu konu hakkında genel bir yazılı çalışma bırakmadığı bilinmektedir. Aslında Riemann geometrinin herhangi bir alanı ile alakalı çeşitli çalışmalar yaptı ve bu başlangıç dersi hayatı boyunca basılmadı. Bu gözlemlere dayanarak, Riemann’ın bir geometri olarak ününün romantik duygularla büyük ölçüde güçlendirildiği ve “Riemann” geometrisinin gerçek yaratıcılarının Helmholtz ve Beltrami olduğu ileri sürülebilir.

Riemann’ın bu dersi daha sonra 3 bölümden oluşacak şekilde yayınlandı: topolojik konular, metrik ilişkiler ve fiziksel uzaylara uygulamalar. Birinci bölümde Riemann , sürekli bir manifold kavramını sürekli bir yol boyunca birinden diğerine ilerlemenin mümkün olduğu nesneler topluluğu olarak tanımlar. Burada Riemann ölçüm yapmak için bazı standartlar olmadan sadece nicel ilişkileri dahil etmiştir. Riemann sürekli manifold tanımını vermiştir.


Riemann’ın n-boyutlu uzay tanımı o dönemde matematikçilere zor gelmiş olsa da çok boyutlu cebirde yapılan çalışmalar ile, n-boyutlu uzaylarda geometri yapmanın önü açılmıştır. Riemann herhangi bir sürekli manifoldu, orijinalinden daha küçük boyutta ya da bir boyutlu manifoldda incelemek için koordinatlar fikrini ortaya koydu. Yani Riemann konuşmanın birinci bölümünde sürekli manifold ve koordinatlar fikirlerini aktarmış oldu.


Dersin ikinci bölümü Riemann geometrisinin temellerinin ortaya konulduğu bölümdür. Hatta burada Riemann soyut formulasyonlardan dolayı üzüntü duyduğunu ve hepsinin geometrik yorumunu vereceğini ifade eder.

Ayrıca Riemann fikirlerinin Gauss’un “Disquisitiones generales circa superficies curvas (eğrilmiş yüzeylerin genel özellikleri)” isimli çalışmasına dayandığını belirtmiştir.

Sonuç olarak Riemann, Öklid dışı geometriyi beşinci postulat tartışmasının olmadığı daha analitik bir manzara muktedir bir zemine taşımıştır. Günümüzde bu kavramlar çok farklı boyut ve manalar kazanmıştır. Biz bugün Öklid dışı geometri tabirini nerdeyse hiç kullanmıyoruz. Sanki, bu geometriler doğal olarak varmışçasına onlarla uğraşıyor ve keyifle çalışıyoruz. Ancak bilmeliyiz ki bunları Riemann’a borçluyuz. Diğer yandan Riemann’ın bu konuda hiçbir çalışmasının olmaması da oldukça ilginçtir. Riemann’dan sonra bir çok bilim insanı Riemann geometrisine katkı sunmuştur. Geldiğimiz noktada Riemann geometrisi bir çok alanda uygulanmaktadır. Bu ise Öklid dışı geometrinin, uygulama kabiliyetine güzel bir örnektir.

Son cümlemiz şu olsun, “var ol Riemann!”…

Sayısal İşaret İşleme videolarına kolay erişim

Tensör Akademi’nin en çok izlenen video listelerinden Sayısal İşarete İşleme ders videolarının tamamında bölümleme yapıldı. Böylece dilediğiniz bölüme kolayca erişebileceksiniz. Bunun için yapmanız gereken, video açıklama bölümüne bakmak.

Başarılar dilerim.

Ders listesine ulaşmak için tıklayınız.

Sinyaller ve Sistemler ders videolarına kolay erişim

Tensör Akademi’nin en çok izlenen video listelerinden Sinyaller ve Sistemler ders videolarının tamamında bölümleme yapıldı. Böylece dilediğiniz bölüme kolayca erişebileceksiniz. Bunun için yapmanız gereken, video açıklama bölümüne bakmak.

Başarılar dilerim.

Ders listesine ulaşmak için tıklayınız.

Mühendislik ve İİBF bölümleri için Lineer Cebir

Lineer Cebir, bir çok bölümde okutulan önemli bir derstir. Dersin amacı, lineer denklem sistemlerinin çözümlerini öğretmek, lineer dönüşümleri kavratmak ve vektör uzayları ile bu uzaylar arasındaki ilişkileri anlatmaktır. Lineer Cebir dersinin çok geniş bir yelpazesi vardır. Matematik bölümleri için bu ders son derece önemlidir ve oldukça detaylı işlenmektedir. Benzer şekilde fizik bölümleri için de yoğun bir içeriğe sahiptir. Ancak özellikle mühendislik bölümleri ile ekonometri, iktisat, işletme, yönetim bilişim sistemleri gibi bölümler daha çok ihtiyaca yönelik olarak bu dersi almaktadır. Bu nedenle sayılan bölümlerde okutulacak lineer cebir ders içerikleri daha “soft” verilmektedir. Daha çok uygulamada kullanılacak şekliyle ele alınmaktadır.

Tensör Akademi Youtube kanalına eklenen ders videolarını izleyerek bu bölümler için gerekli olan içeriği erişebilirsiniz. Ders videoları zamanla genişleyecek ve uygulama videoları ile soru çözüm videoları eklenecektir. Sizler de videolarda ele alınmasını istediğiniz konuları tensorakademi@gmail.com adresine yazabilirsiniz. Videolara aşağıdan veya bu linkten ulaşabilirsiniz.

Kanala abone olmayı unutmayın.

Scientific Workplace 5.5 ve Latex

Scientific WorkPlace (genellikle SWP olarak kısaltılır), Microsoft Windows ve OS X’te bilimsel kelime işleme için kullanılan bir yazılım paketidir. WYSIWYG (What You See Is What You Get) LaTeX tabanlı bir kelime işlemci olarak tanıtılsa da, aslında LaTeX kaynak dosyalarını aynı kolaylıkla düzenlemek için bir grafik kullanıcı arabirimidir. Ayrıca entegre bir bilgisayar cebir sistemi içerir.

Scientific WorkPlace, LaTeX’e dayalı olduğundan, LaTeX, kullanan herhangi bir bilimsel derginin formatında dosyalar oluşturmak için kullanılabilir. Önceden tanımlanmış birçok format ile birlikte gelir, ancak yeni bir format yüklemek kolay değildir.

Scientific WorkPlace 30 Haziran 2021 tarihine kadar ücretli ticari bir yazılımdır. Geliştirici MacKichan Software, Inc., 30 Haziran 2021’de yazılımına artık lisans satmayacağını duyurdu. Mevcut lisanslar geçerli kalacak, ancak yeni kurulumların, en az iki yıl sürdürmesi beklenen lisans sunucusu tarafından doğrulanması gerekecek. Scientific WorkPlace 6.1 sürümü açık kaynak olarak indirilebilmektedir.

Günümüzde, Scientific WorkPlace yazılımının en kullanılan sürümü 5.5’dir. Latex kullanamayan ya da kullanmayan birçok kişi makale vb. dokümanlarını bu programı kurarak dizmektedir. Her ne kadar programın kullanımı kolay görünse de istenen çıktıyı elde etmek pek mümkün değildir. Dergilerin istedikleri formatlara uyarlamak veya tez yazabilmek oldukça zordur. Bu nedenle programı kullananlar burada yazdıkları dokümanı TexStudio gibi Latex derleyicileri ile düzenlemektedir. Düzenleme sırasında çeşitli sorunlar ortaya çıkmaktadır.

Aşağıdaki videoda, Scientific WorkPlace ile hazırlanmış bir dokümanın TexStudio ile nasıl açılacağını ve düzenlenebileceği anlatılmaktadır. TexStudio dışında, TexMaker ve Overleaf gibi uygulamalar kullanılarak da aynı işlemler yapılabilir.

Videoyu izledikten sonra, beğenmeyi unutmayın. Kanala abone olarak yaygınlaşmasına yardımcı olabilirsiniz.

Matematiğin Modern Uygulayıcısı: Diferansiyel Geometri!

Matematiği pür ve uygulamalı olarak ikiye ayırma işi oldukça eski bir gelenek. Bu yazımızda uygulamalı matematik algısının artık değişmesi gerektiğine dair fikirlerimi diferansiyel geometri penceresinden paylaşacağım.

Uygulamalı Matematikçi Kimdir?

Uygulamalı matematik denildiğinde matematik sonuçların başka alanlara taşınması anlaşılmaktadır. Pür matematikçiler matematiği matematik için yaparken uygulamalı matematikçilerin diğer bilim ihtiyaçlarını da göz önüne aldıkları söylenebilir. Ancak uygulamalı matematikçiler de kendi aralarında ayrılmaktadır. Kimi uygulamalı matematikçiler yeni uygulamaların geliştirilmesi veya mevcut olanların daha da iyileştirilmesi için çalışırken kimileri ise diğer alanlardaki matematik modelleri çözme uğraşısı içerisindeler. Birinci grup aynı zamanda teorik sonuçlar da üretebilmektedir. İkinci grup ise hızlı ve anlaşılır ama matematik açısından çok kayda değer göülemeyecek neticelere erişebilmektedir. Diğer yandan operatör teorisi çalışanlara da uygulamalı matematikçi denilmektedir. Zira bu konular diferansiyel denklemler için aranacak çözüm metotlarını sistematik hale getirerek genelleştirmektedir. Sonuç olarak kabaca şunu söyleyebiliriz; uygulamalı matematik denildiğinde diferansiyel denklemlere çözümler üretecek çalışmalar yapılması anlaşılabilir. Aslında burada diferansiyel lafını kaldırırsak, her matematikçi bir çeşit denkleme çözüm arayışında olduğu varsayılırsa her matematikçinin bir uygulamalı matematikçi olduğu söylenebilir.

Diferansiyel Denklemlerin Evrimi

Bir diferansiyel denklem denildiğinde, içerisinde türev veya diferansiyel olan denklem anlaşılır. Newton-Liebnitz zamanına gidersek anlaşılması ve çözülmesi kolay birçok diferansiyel denklem ile karşılaşabiliriz. Newton fiziğinde bir çok diferansiyel denklem görebiliriz. Ancak bugün geldiğimiz noktada diferansiyel denklem kavramı çok başka bir noktadadır. Burada adi veya kısmi ayırımı yapmıyorum. Örneğin Einstein alan denklemi en güzel diferansiyel denklemlerden biridir. Diğer yandan eğrileri, yüzeyleri ve manifoldları çözüm kabul eden diferansiyel denklemler bulunmaktadır. Bu denklemleri çözebilmek veya çözümlerini yorumlayabilmek için ileri diferansiyel geometri teknikleri kullanıyoruz.

Diferansiyel Geometri Nedir?

Bilim dalları çeşitli özelliklerine göre alt dallara ayrılır. Matematik biliminin alt dalları şu şekildedir;

  • Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi
  • Topoloji
  • Cebir
  • Sayılar Teorisi
  • Uygulamalı Matematik
  • Geometri
  • Bilgisayar Bilimleri
  • Matematiğin Temelleri ve Lojik

Anabilim dalı sayısı üniversiteye göre değişkenlik gösterebilir. Ama birkaç tanesi her yerde aynıdır. En önemli anabilim dallarından biri geometridir. Geometri insanlığın tarihi kadar eski bir geçmişe sahiptir. Matematiğin diğer anabilim dalları geometriden ayrı düşünülemeyeceği gibi geometri de diğer anabilim dallarından ayrı düşünülemez. Geometriyi Öklid geometrisi ve Öklid dışı geometriler şeklinde ikiye ayırabiliriz. Öklid geometrisi en basit haliyle lisede gördüğümüz, öğrendiğimiz geometridir. Bu geometri Öklid’în aksiyomlarına dayanmaktadır. Öklid dışı geometri beşinci aksiyomun tartışmalarının bir sonucu olarak ortaya çıktı. Geometride en önemli kavramlardan biri metriktir. Öklid geometrisinde Öklid metriği kullanılır. Bildiğimiz üzere farklı metrikler de vardır. Bazı geometriler metriğe göre isim almaktadır. Örneğin taxicab geometri, Öklid metriği yerine maksimum metriğinin kullanılması ile oluşturulmuş bir geometridir.

Öklid dışı geometrilerim bir başka önemli örneği olan küresel geometri küre üzerinde yapılan ve doğruları kürenin büyük çemberleri olan geometridir. Bunların dışında, hiperbolik geometri ve projektif geometri gibi farklı geometriler bulunmaktadır. Listeyi daha da genişletebiliriz. Geometride metrik ile birlikte ortaya çıkan bir topoloji de mevcuttur. Bunun yanında geometriyi cebirsel olarak inceleyen cebirsel geometri alanı bulunmaktadır.

Gerek Öklid geometrisi gerekse Öklid dışı geometri kalkülüs araçları kullanılarak çalışılabilmektedir. Bu sisteme diferansiyel geometri adını veriyoruz. Yani, Diferansiyel geometri, geometrik nesnelerin diferansiyel ve integral hesap kullanılarak incelenmesi olarak tanımlanabilir.

Diferansiyel Geometriyi kimler geliştirdi? 

Diferansiyel geometrinin kurucusu Carl Friedrich Gauss olarak kabul edilir. Gauss eğrilerin ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi alanına önemli katkılar sunmuş ve yaptığı çalışmalar modern diferansiyel geometrinin temelini oluşturmuştur.  Hala atıf almayı başarabilen Gauss’un ” Eğriler ve yüzeyler üzerinde genel araştırmalar ” isimli makalesi bu alanın öncü çalışmasıdır. Sonnrasında Riemann’ın sınırları zorlayarak Gauss’un düşüncelerini hayata geçirmesi ile manifold kavramı geometri dünyasına girmiştir. Riemann yüseylerin yüksek boyutlara genişlemesi olarak Almanca “Mannigfaltigkeit” terimini kullanmış ve bu terim William Kingdon Clifford tarafından “manifoldness” olarak çevrilmiştir.  

Diferansiyel geometrinin uygulamaları nelerdir? Diferansiyel geometri ne işe yarar?

Diferansiyel geometrinin matematik, fizik, mühendislik ve tıp gibi hemen her alanda uygulamaları bulunmaktadır. Diferansiyel denklemlerin olduğu her alanda diferansiyel geometri kullanılabilir. Özellikle çözümleri Öklid dışı geometrik yapılar olan diferansiyel denklemler diferansiyel geometrinin daha ileri tekniklerinin uygulanabileceği alanlardır.

Bilgisayar biliminde diferansiyel geometri araçlarının kullanılması son yıllarda giderek yaygınlaşmaktadır. Eğriler ve yüzeylerin yanısıra son zamanlarda veri analizi, görüntü ve ses işleme, veri madenciliği gibi birçok alanda manifoldlar teorisi uygulamaları bulunmaktadır.

Bugün geldiğimiz noktada, diferansiyel geometrinin hemen her alanda uygulamasının olduğunu söylemek yanlış olmaz. Öyle ki bu uygulamalar uygulamalı matematik kavramının şeklini değiştirmiştir. Ancak, matematikçiler arasında bu kabulün henüz tam olarak yerleşmediğini söyleyebiliriz. Diferansiyel geometrinin artan öneminin kabullenilmesinin biraz daha zaman alacağı kanaatindeyim.

Zor görünen teoriler, anlaşıldığında bilime çağ atlatır!

Bugün hayatımızın her alanına nüfuz etmiş olan yapay zeka teknolojisinin teorik temelleri çok eskiye dayanmaktadır. Ancak bu gelişimin süreci bugünkü yapay zeka kullanımı ile kıyaslanırsa aradaki hız farkı asırlara bedel olur. Einstein in relativite teorisi ilk ortaya çıktığında çok az insan anlamıştı. Bugün gelinen noktada veri bilimine dahi ışık tutmaktadır. Manifold kavramı da anlaşılması kolay olmayan bir teoriyi barındırmaktadır. Ama bu eşik aşıldığında ise ortaya muazzam sonuçlar çıkmaktadır. Perelman Poincare sanısını diferansiyel geometri tekniklerini, Ricci flow diferansiyel denklemine uygulayarak çözmüştür ve matematik ile fizik başta olmak üzere bilim adeta çağ atlamıştır. Bu diferansiyel geometri daha ne çağlar atalatacak!

Diferansiyel geometri çalışmaları nelerdir? 

Ülkemizde diferansiyel geometri alanında oldukça güzel çalışmalar yapılmaktadır. Sürekli olarak bu alanda çalışan genç bilim insanları yetişmektedir. Her yıl uluslararası geometri sempozyumu düzenlenmekte ve bu sempozyumda en çok çalışma yine diferansiyel geometri alanında yapılmaktadır. Matematik bölümlerinin tamamında olmasa da büyük bir bölümünde diferansiyel geometri alanında doktora yapmış hocalarımız bulunmaktadır. Ben diferansiyel geometri çalışmalarına olan ihtiyacın her geçen gün daha da artacağı kanaatindeyim. Bu nedenle genç matematikçi arkadaşlarımı diferansiyel geometri alanında bilimsel çalışma yapmaya teşvik etmek yanlış olmaz.

 Sonuç olarak diferansiyel geometri matematiğin en önemli çalışma alanlarından biridir.  Çalışılması çok kolay olmasa da oldukça eğlenceli olduğunu söyleyebilirim. Bu önemli çalışma alanına yönelecek tüm arakdaşlara başarılar dilerim. Sorularınızı ve yorumlarınızı iletebilirsiniz. 

Matematikle kalın!

LATEX İLE MATEMATİK YAZIMI

Hepimiz yoğun olarak LateX kullanıyoruz. Kimimiz, latex komutları yazmakta zorlanıyoruz Ben de onlardan biriydim. Latex öğrenme konsunda yaşadığım zorluklar, deneyimlerimi paylaşmam gerektiğinin göstergesiydi. Bu amaçla oluşturduğum web sayfası üzerinden deneyimlerimi sizlerle paylaşacağım. Ayrıca videolar çekerek Tensör Akademi youtube kanalına yükleyeceğim.