Posts in Kitap İncelemeleri

Diferensiyel Geometri Master ve Doktora Tezleri

Diferansiyel Geometri alanında önemli sorunların başında Türkçe kaynak yetersizliği gelmektedir. Esasen master ve doktora seviyesinde Türkçe kaynak aramak ne kadar doğru olur bu tartışılır. Ancak ingilizce başarımız malum, dolayısıyla hepimiz bu işin başlangıcında konuları daha iyi kavrayabilmek adına Türkçe kaynak arıyoruz. Bu durumda YÖK tarafından oluşturulmuş YÖKTEZ sayfası imdadınıza yetişebilir.

KISACA YÖK TEZ

Bu sayfada ülkemizde, üniversitelerimizde yapılmış bütün master ve doktora tezleri yer almaktadır. Tezler sisteme yüklenirken yazarlar-isterlerse- erişimi kısıtlayabilirler. Burada amaç tezde elde edilen neticelerin başkaları tarafından -henüz makale olarak basılmadan- kullanımını önlemek. Zira bir makalenin basılması bazen yıllar alabiliyor. Eskiden bir araştırmacı bitirdiği tezine 3 yıla kadar erişim engeli koyabiliyordu. Ancak YÖK tarafından yapılan son düzenleme ile en çok 6 ay erişim engeli konulabiliyor. Daha uzun süreli engel koyabilmek için enstitü tarafından gerekçeli karar verilmesi gerekiyor. Tüm bunlardaki amaç açık kaynak erişimini yaygınlaştırmak.

YÖK TEZ YÜKLEME EASALARI

YÖK dışında bazı üniversiteler de kendi tez bankalarını oluşturmuşlardır. Kimi tezlere kendi üniversitelerinin web sayfalarından ulaşılabilir.

DİFERENSİYEL GEOMETRİ TEZLERİ

YÖK TEZ sayfasına girdiğinizde bir arama ekranı ile karşılaşırsınız. Bu ekrana çalıştığınız konunun anahtar kelimelerini yazdığınızda alakalı tezler listelenir. Size en yakın olan tezi bilgisayarınıza indirip okuyabilirsiniz. Tezleri indirirken sadece ihtiyacınız olanı indirmeniz önerilir. İşinize yaramayacak tezler size vakit kaybettirecektir.

Diferansiyel geometri alanında yazılmış tezler genellikle 3 ana bölümden oluşur.

  1. GİRİŞ :  Tez konusunun genel tarihsel gelişim süreci, kapsamlı literatür bilgisi ve tezde yapılan çalışmalar ile bilime katkısı bu bölümde verilir. Bu bölümler konuya yeni giriş yapan kişiler için oldukça faydalıdır.
  2. TEMEL KAVRAMLAR: Ülkemizde bir gelenek haline gelmiş olmazsa olmaz bölümdür. Burada tezde kullanılan bazı kavramların tanımları verilir. Referans alınan bazı teoremler burada sunulur. Ancak yurt dışında yazılmış çoğu tezde bu bölüm bulunmamaktadır. Her tezde tekrara giren temel kavramlar bölümü tezin hacmini çoğu zaman gereksiz şekilde artırmaktadır. Bence bu bölümün gerekliliği artık tartışılmalıdır!
  3. SONUÇLAR:  Her tez çalışmasının bir amacı vardır. Master tezlerinin orijinal sonuçlar elde etme gayesi olmak zorunda değildir. Çalışılan konu hakkında genel bilgileri içeren kapsamlı bir çalışma güzel bir yüksek lisans tezi olabilir. Ya da bir makaledeki denklemlerin açılması ve konunun detayları ile sunulması da yapılabilir. Ama eğer orijinal çalışma olursa bu da hem yazan hem de danışman için büyük kazanç olur. Doktora tezleri için durum farklıdır. Bir doktora tezi mutlaka orijinal sonuçlar içermelidir. Daha önce dünyanın hiçbir yerinde yapılmamış ve alana katkı sağlayacak sonuçlar içermek zorundadır. Birçok üniversite doktora tezlerinin tamamlanabilmesi için indeksli yayın şartı koymuştur. Bu ise çalışmanın orjinalliğinin uluslarası alanda gösterilmesini hedeflemektedir. Sonuçlar bölümü tezde yapılan çalışmaları içeren bölümdür.

TEZ NASIL OKUNUR

Bir matematik çalışmasının en önemli özelliklerinden biri okunabilmesidir. Çoğu zaman bu göz ardı edilir ve okuması güç çalışmalar çıkar. Tezler bir hikaye veya roman okur gibi baştan sona okunmamalıdır. Temel kavramlar bölümü çoğunlukla her kaynakta vardır ve o tez ile muhatap olan kişiden bunları bilmesi beklenir. Bu nedenle bu bölüm atlanabilir. Sonuçlar kısmında işinize yaracak kısımları okuyabilirsiniz.

Tezlerin en önemli özelliği tüm ispat ve denklemleri açık olarak sunmalarıdır. Makalelerde ispatlar genellikle kapalı verilir. Bu anlamda tezler daha yararlıdır.  Konuya olan ilgiye göre ispatları yapabilir veya atlayabilirsiniz.

İYİ BİR TEZ NASIL OLAMALIDIR

Bir tezin iyi olma ölçüsü çalışılan alana göre değişir. Ama iyi bir tez açıklayıcı olmalıdır ve literatüre yeni bir katkı sunmalıdır. Tezlerin Türkçe yazıldığı düşünülürse ülkemiz matematiğine kazandırılmış önemli bir kaynak olduğu söylenebilir. Bu nedenle tez okunabilir olmaldır. Eğer mümkünse LaTeX ile yazılması önemlidir. Tezi yazan kişi bunu sadece bir -iş- olarak yapıyorsa ortaya güzel bir sonuç çıkması çok beklenmez. Ama gönülden, isteyerek yapıyorsa önemli bir çalışma çıkabilir. İyi bir tezin en önemli etkeni danışmandır. Danışman konuyu doğru seçmeli, problemini net olarak belirlemeli ve tezin nasıl olacağına karar vermelidir. Tezi birkaç kez okumalı ve gözden geçirmelidir. Tez değerlendirme jürisi de bu noktada iyi inceleme yapmalıdır. Her üye tezi okumalı ve öğrenciye, danışmana önerilerde bulunmalıdır. Kısaca iyi bir tez öğrenci, danışman ve jürinin ortak ürünüdür.

SONUÇ

YÖK veri tabanındaki tezler sizlerin çalışmalarına ışık tutacak önemli kaynakladır. Master veya doktora ya yeni başlamıış arkadaşların belirledikleri konu hakkında yazılmış tezleri incelemelerini şiddetle tavsiye ederim. Bazen yeni karşılatığınız ve kimse bilmez dediğiniz bir konunun onlarca yıl önce tezinin yazıldığını görünce hem şaşırır hem de sevinirsiniz. Tüm anahtar kelimeleri kullanarak derinlemesine araştırma yapın!

Görüş ve önerilerinizi paylaşabilirsiniz.

Tüm bilimlerin gelecekteki anahtarı: Manifold!

 

-“Hocam, bunları bize neden anlatıyorsunuz ne işimize yarayacak ki?”

Yukarıdaki soru matematik öğretmenlerin en hoşlanmadığı sorudur. Zira bir matematikçi yaptığı işin işlerliğini düşünmez. Eğer öyle olsaydı bugün bilim bu noktaya gelemezdi. Gauss nerden bilebilir di ki ifade ettiği matematik sayesinde bugün bilgisayarlar veri analizi yapacak! O zaman bu soruya cevap vermek matematikçi için çok makul bir durum  olmaz. Ancak yine de biz matematikçiler bazen kendi merakımızın da etkisiyle bu soruya yanıt ararız. İşte bu sorunun muatabı olan konulardan biri de manifold kavramı. Riemann ın sistematik olarak ifade ettiği ve sonrasında gerek teorisi gerekse içeriği ile muzzam gelişen manifold kavramı bugün birçok bilimin temel ihtiyacı haline gelmiştir. Bu yazıda manifoldarın uygulamaları ve geleceği hakkında bildiklerimi sizlerle paylaşacağım.

 Manifold Nedir?

Bir manifold yerel olarak Öklidyen uzaydır. Bir manifoldu görselleştirmek için şu örnek verilebilir: piknik yapılan yerdeki küçük bir karınca piknik kalıntılarını topladığı alanları düz olarak görecektir. Ancak bu manzaraya yüksekten bakan biri aslında o bölgenin eğrilikli olduğunu görecektir. Yani lokal olarak düzdür. Benzer şekilde küre lokal olarak 2 - boyutlu Öklid düzlemi olup iki boyutlu bir manifolddur.

Manifold üzerinde harita dönüşümleri

Bir manifoldun formal tanımı şu şekildedir: M bir topolojik uzay olmak üzere M deki her noktanın bir komşuluğu n- boyutlu Öklid uzayındaki bir açık komşuluğa homeomorfik ise M ye n- boyutlu manifold denir. Bir M manifoldunun herbir p noktasının komşuluğunda manifolda teğet olan vektörlerin uzayı manifoldun tanjant uzayı olarak adlandırılır ve T_pM ile gösterilir. Eğer M üzerinde bir metrik (uzaklık fonksiyonu) tanımlı ise bu durumda M ‘ye bir Riemann manifoldu denir. Bazı şartlar altında bir Riemann manifoldu Öklid uzayının bir alt kümesi olarak düşünülebilir, bu durum Riemann manifoldunun Öklid uzayına gömülmesi olarak adlandırlır. Öklid uzayının yapısal araçları Riemann metriği yardımı ile manifold üzerine indirgenebilir.

Manifold bizlere metrikden bağımsız ve hatta topolojiden bağımsız geometri yapma olanağı sağlar. Örneğin

  • bir vektör uzayı bir manifolddur,
  • bir eğri 1-boyutlu bir manifolddur,
  • orijinden geçen doğrular kümesi (projektif uzay) bir manifolddur.

Bu liste genişletilebilir. Burada ilginç olan bir durum ise bu manifoldların hepsinin kendine has geometrisinin olmasıdır. Cebiri geometri ile, geometriyi cebir ile ; analizi geometri ile geometriyi analiz ile… birbirinden farklı gibi görünen bu alanların arasında zaruri bir ortaklık söz konusudur. İşte artık bu ortaklığın vazgeçilmez bir elemanı oldu: manifold. Analizci de artık manifold teorisi araçları kullanacak, hatta bu alana geometrik analiz adı veriliyor.

Bambaşka Bir Geometri 

Dedim ya manifoldun kendine has geometrisi var diye… Bu ne demek? İki nokta arasındaki en kısa uzaklık geometrik olarak ne belirtir?, diye sorsam “doğru” diyeceksiniz. Neden çünkü sizler Öklidçi geometriyle herşeyi görüyorsunuz. Oysa küre üzerinde iki nokta arası en kısa uzaklığın geometrik manası kürenin vüyük çemberleridir. O halde küre de doğrular büyük çemberlerdir. Bir manifoldun doğruların geodezikler denir.

 

Küre üzerinde geodezik üçgen, bu üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür.

Öklid uzayında doğrular ne ise manifold üzerinde de geodezikler o dur! Biz Öklid geometrisinde tüm şekilleri ve genel olarak tüm geometrik nesneleri doğrular yardımı ile ifade ediyoruz. Örneğin herhangi ikisi paralel olmayan 3 doğru ile bir üçgen elde edebiliriz. Aynı düşünceyi manifold içinde düşünebiliriz. Tabi bu durumda çok önemli farklar ortaya çıkar. Üçgenin iç açılarının toplamı 180 den farklı olabilir… İşte size Öklid dışı geometri!

Gauss, bir dahi, dünyanın gelmiş geçmiş en büyük bilim insanlarından biri! Ankara Üniversite sinden Cevat hocam “toprağın bol olsun Riccati” derdi, Riccati dif denk i anlatırken. “Euler i bilimden çıkartın dünya 100 yıl geriye gider” derdi. Bu sözler ve daha fazlası Gauss için az bile. O diferansiyel geometrinin kurucusudur ve bence manifold kavramının ilk yaratıcısıdır. Gauss için ne yazsak ne söylesek az. Biz konumuza devam edelim…

Gauss bir yüzeyin kendine has geometrisi olduğunu gösterdi ve eğrilik kavramını tanımladı. Sonra yüzeydeki bir üçgenin iç açıları ile bu eğrilik arasında bir bağlantı kurdu. Bu bağlantı yıllar sonra Bonnet tarafından yüzeyin topolojisi ile de ilişkilendirildi. Gauss-Bonnet teoremi ortaya çıktı: muhteşem! Gauss-Bonnet teoremi diferansiyel geometri ile topoloji arasındaki ilişkiyi sunan harikulade bir sonuç.

Burada K 2-boyutlu kompakt ve yönlendirilebilir Riemann manifoldunun Gauss eğriliği (teğet düzleminden uzaklaşma ölçüsü) , \partial M  M‘nin sınırı , k_g manifoldun sınırının geodezik eğriliği ve \chi(M) M‘nin Euler karakteristiğidir.  Gauss eğriliği manifoldun diferansiyel değişmezi (differomorfizmler altında invaryant kalıyor) ve Euler karakteristiği manifoldun topolojik değişmezidir (homeomorfizmler arasında invaryant kalıyor).

Detaylı bilgi için “Yüksek Lisans Tezim” okuyabilirsiniz.

 

Manifold Ne İşe Yarar

Peki bu kadar güçlü bir şekilde ortaya çıkan manifold doğada var mıdır? Kesinlikle evet! Başlıkta da ifade ettiğimiz gibi tüm bilim adamları ona başvuracak. Şimdi birlikte manifold uygulamalarına göz atalım.

  1. Genel relativite : Albert Einstein 1905 yılında özel relativite yi yayınladı. Einstein bu teoriyi uzun zamandır düşünüyordu ve çalışıyordu . Ancak güçlü matematik temellere ihtiyaç vardı. Tabii ki Öklid geometrisi buna yeterli gelmiyordu. Daha fazlasına ihtiyaç vardı. İşte Einstein in başvurması gereken alan Riemann geometrisiydi!
  2.  

Yandaki denklem Einstein alan denklemidir. Burada Rμν Ricci eğrilik tensörü, R skaler eğrilik, gμν metrik tensör , Λ kosmoloji sabiti,  G Newton gravitasyon sabiti , c ışık hızı , ve Tμν stres enerji tensörüdür (Tüm bu kavramları zaman içinde sayfamda bulcaksınız).  Bu denklemi sağlayan manifolda Einstein manifoldu adı verilmektedir. Einstein manifoldları diferansiyel geometricilerin de üzerinde yoğun olarak çalıştıkları bir alandır.

3. Bilgisayar Bilimi : 

Son zamanlarda bilgisayar bilimindeki gelişmeler giderecek daha çok matematiksel araca ihtiyaç duymaktadır. Hem problemin matematiksel modelinin yapılması hem de algoritmaların etkili ve hızlı olması daha geniş bir matematiksel perspektifin kullanılmasını gerektiriyor. İşte manifoldlar bilgisayar bilimindeki bu sorunun çözümünde başvurulan en güçlü matematiksel araç. 

  • Görüntü işlemede manifoldlar etkili bir biçimde kullanılmaktadır.  
  • Derin öğrenmede manifoldlar ve üzerindeki yapılardan yararlanılarak yeni CNN metodları geliştirilmiştir.
  • Manifold öğrenme veri madenciliği metodlarının üst düzeyde yapıldığı bir ver işleme yöntemidir. Son yıllarda hızla büyümektedir.

Diferansiyel Geometricinin En Güzel Kitapları!

Diferansiyel geometri; analiz, topoloji cebir den yararlanan ve diferansiyel araçlarla geometri yapılan bir alandır. Bu kadar fazla alandan beslenen bu muhteşem bilim dalı hiç süphesiz çalışması ve anlaması kolay olmayan bir alandır. Bu nedenle okunacak kitaplar ve kullanılacak kaynaklar oldukça önemlidir. Bir hocam derdi ki ” piyasa da basılmış iyi bir kitap varsa, ondan saha iyisini yazmadığın müddetçe yeni kitap basmak anlamsız!”. Bu görüşe kısmen katılmasamda bazı kitaplar varki onların yerlerini doldurmak imkansız. Bu yazıda genel olarak diferansiyel geometri ve ağırlıklı olarak da manifoldlar teorisi kitaplarından bahsedeceğim.

Yukarıdaki resimde kitaplağımda olan bazı önemli kaynakları paylaşmaktayım. Üst soldan alt sağa doğru;

  1. Spivak, Calculus on Manifolds: Spivak A Comprehensive Introduction to Differential Geometry adlı 5 ciltlik bir serinin yazarı. 70 li yıllarda yazılan bu set Spivak’ın iddiasına göre Amerika’nın ve dolayısıyla dünyanın en iyi diferansiyel geometri kitapları. Gerçekten de Spivak’ın bu muazzam serisi her tür bilgiye ulaşabileceğiniz koca bir dünya. Ayrıca Spivak’ın görseldeki Calculus on Manifolds da oldukça güzel bir kitap. Hacmi küçük olan bu kitapta Spivak çok değişkenli fonksiyonların analizinden başlayıp n-boyutlu zayda kalkülüs araçlarını vererek manifold üzerinde diferansiyel ve integrasyonu anlatıyor. Her geometricinin kütüphanesinde olması gereken bir eser!
  2.  Foundations of Differential Geometry 1-2 , Kobayashi-Nomizu: Bu kitap serisi diferansiyel geometrinin ansiklopedisi olarak kabul edilir. Her ne kadar eskimiş olsa da belirli bir tarihe kadar ki tüm diferansiyel geometri bilgilerini ulaşabilirsiniz. Biraz ağır bir kaynak olmakla birlikte evde bulunulası bir eser.
  3. Semi-Riemannian Geometry, Baret O’Nell, Semi-Riemann geometri kavramı genel relativite teorisinin gelişmesi ile ortaya çıkmış, Riemann geometrisinin daha genel halidir. Bu kitap bu alandaki söz sahibi önemli bir kaynaktır. Kitabı okuduğunuzda çok şey öğreneceksiniz. Ayrıca kitap Relativite teorisi üzerine uygulamalar içeriyor.
  4. Riemann Geometry,Peter Petersen, Günümüz terminolojisi ile yazılmış muhteşem bir eser. Mutlaka indirin ve zaman zaman okuyun!
  5. Structure On Manifolds, K.Yano ve M.Kon; Kentaro Yano ve Mashirio Kon diferansiyel geometriye çok büyük katkılar yapmış Japon geometricilerdir. Bu kitap ta bu alanda çalışanlar için bir başucu kaynağıdır. Manifolalrın diferansiyel geometrisininden başlar, kompleks, kontakt, Köhler ve daha birçok yapıyı detaylı olarak anlatır. Kitap eski olsa da terminoljisi şimdikine oldukça yakındır. Rahatlıkla anlayabilrsiniz.

6. Einstein Manifolds, Besse; Efsanelerin efsanesi… Hala edinmediysen hemen bul ve oku. Modern diferansiyel geometrinin hemen her aracını bu kitapta bulabilirsin.