Ders Hakkında
Üniversiteli kardeşim, bir dönem bitti. Lisede öğrendiklerini pekiştirip üzerine çok daha fazlasını ekledin. Şimdi çıtayı yukarı çekme vakti. Matematik ile olan bağın hiç kesilmeyecek. Kendini ne kadar geliştirirsen o kadar güçlü olursun. Tüm derslerde matematik bilgisine ihtiyacın olacak. Bu ders aşağıdaki içeriğiyle seni çok ileri noktalara taşıyacak. Yapman gereken bir defter ve kalem alıp dersleri dikkatle dinlemek. Bol bol soru çözmek.
Dersimizin tamamını Youtube’a yükledik. Ulaşmak için hemen tıkla…
Dersi içeriği:
Bu dersimizde aşağıdaki içeriği takip ediyoruz.
1. Bölüm: Riemann İntegrali ve Uygulamaları
Türevi öğrendik. Türevin tersine de integral dedik. Ama esas integrali şimdi işleyeceğiz. Riemann’ın ortaya koyduğu sistematiği izah edecek ve çok güzel işler yapacağız. Bu başlıkta neler mi var? Hadi bakalım:
- İntegral nedir?
- Hangi fonksiyonların integrali vardır?
- Elementer olmayan integraller nelerdir?
- İntegral hesabın temel teoremi nedir?
- Belirli integral ile belirsiz integral arasındaki fark nedir?
- Ortalama değer teoremi nedir? Nasıl kullanılır?
- İntegralin türevini alalım mı?
- Hadi eğri altında kalan alanı hesaplayalım…
- Daha ne alanlar hesaplayacağız.
- İntegrali uygulamaya devam ediyoruz.. Hacim hesabı!
- Eğri uzunluğuna ne dersin?
- Daha çok var çok: Yüzey alanı hesabı mesela…
- Ağırlık merkezi ve moment hesabı
- İntegral ile limiti bile hesaplıyoruz???
Daha yok mu? Var tabii ki ama onlara da sonra bakalım.
Koca derste sadece integral mi işleyeceğiz…
Bu bölümü tamamladığınızda ; İntegral ne işe yarar? İnetgral nasıl hesaplanır? İntegral öğrenmek neden önemlidir? İntegralin hayatımızdaki uygulamaları nelerdir? İntegral gerçek hayatta ne işe yarar? İntegrali kim neden buldu? Neden integral öğrenmeliyiz? gibi soruların tümüne cevap verebileceksiniz.
2. Bölüm: GENELLEŞTİRİLMİŞ İNTEGRALLER
Önceki bölümde bol bol integral hesapladık. Ama hiç sakıncalı sulara dalmadık, e sen de sormadın… mesela ya aralık sınırlı değilse? Ya da aralıkta fonksiyon analitik değilse , yani tanımısız veya süreksiz, limitsiz ise. Ya kısaca sorunlu bir nokta ise (bu arada buna singüler nokta diyoruz). Peki o zaman ne olacak?
Bu tip integrallere genellştirilmiş integral veya has olmayan integral diyoruz. İngilizcesi “İmproper İntegral” dir. İşte bu bölümde bunları tartışacağız. Öncelikle bunlar Riemann integrali değil! Peki o zaman ne yapacağız? Limittt nerdesin, yetiş imdadımıza… Ne demiştik limit anlatırken, ulaşamadığımız erişemediğimiz sıkıntılı noktalarda limite bakıyoruz. İşte burada da o sıkıntılı noktayı limitle ayırıyoruuuzzz ve kalanın Riemann integralini alıp limitle işi bitiriyoruz. Bu kadar basit. Ama bazen işin içinden çıkamıyoruz. O zaman da yakınsaklık testlerini kullanıyoruz. Testler de bize sonucu tam söylemiyor. Ama integral var mı yok mu hemen ona cevap verebiliyor.
Peki bu genelleştirilmiş integraller ne işe yarıyor?
Vallahi çok işe yarıyor. Yazmakla baş edemeyiz. Yukarıda yazdığımız uygulamaların hepsi var, Laplace dönüşümü, Gamma fonksiyonu, olasılık dağılımları, eylemsizlik momenti hesapları oooo… çok çok.
Siz buna takılmayın, konuyu iyi öğrenin. Konuyu iki temel başlıkta ele alacağız;
- Genelleştirilmiş integrallerin tanımı ve çeşitleri
- Yakınsaklık Testleri
Bu konuyu tamamladığınızda; Genelleştirilmiş integral nedir? Genelleştirilmiş integral ne işe yarar? İntegralin yakınsaklığı ne demek? Sınırsız integral var mıdır? İntegralin sınırları sonsuz olabilir mi? Süreksiz fonksiyonların integrali alınabilir mi? Gamma integrali nedir? Gamma fonksiyonları nelerdir? Gamma fonksiyonları ne işe yarar? Laplace dönüşümü nedir? Laplace Dönüşümü ne işe yarar? Gabriel borusu nedir? Gabriel borusunun alanı ve hacmi nasıl hesaplanır?
3. Bölüm: Kutupsal Koordinatlar
Descartes yatakta uzanmış tavana bakıyordu. Bir böceğin hareketi izledi ve birden yataktan fırladı! Böceğin yeri, evet böceğin yerini cebirsel olarak ifade edebilirim. Böceğin tavan kenarlarına dik uzaklıklarını ve bu noktaların da köşeye olan uzaklığını hesaplarsam, yeri buldum gitti… Bu noktaya koordinat diyoruz. Noktaların oluşturduğu düzleme de kartezyen (Descartes’in ismine ithafen) koordainatlar diyoruz. (Analitik geometri konusundaki eksiklerinizi hızlı bir şekilde giderebileceğiniz videolara ulaşmak için tıklayınız. ) Descartes analitik geometrinin kurucusuydu.Bilimin önünü açtı. Newton onun kitabını okuyarak kinematiği inşa etti ve kalkülüsün temellerini attı. Dik koordinat sistemi mükemmel işleyen ve cebir ile geometri arasında adeta bir köprü görevi yapan çok önemli bir araçtır. Ama bu mükemmel araç her zaman işimizi görmüyor. Farklı koordinatların olabileceği fikri aklınıza yatkın gelmeyebilir. Ama orijini değiştirdiğinizi düşünün, o zaman tüm noktaların cebirsel ifadesi değişir. Ya da ekseler arasındaki açıyı dik değil de farklı şekilde alın. Bakın her şey nasıl değişiyor. İşte biz bunlara farklı koordinat sistemleri diyoruz. Bu yeni koordinatlar bazen kartezyen koordinatta anlamakta zorlandığımız, çözemediğimiz karmaşık durumları çözmemizde yardımcı oluyor. Bazen bambaşka bir geoemetri ortaya çıkarıyor. İşte bu bölümde en önemli koordinatlardan biri olan kutupsal koordinatları işleyeceğiz.
Kutupsal koordinatlarda, dik dorğruların yerini aynı merkeze sahip içi içi geçmiş çemberler almaktadır. Bu kez her nokta bir çemberin üzerindedir. Bu noktanın merkeze uzaklığı , yani yarıçap ve bu noktadan geçen kirişin çap ile yaptığı açı yeni koordinatlarımız oluyor. Dünyamızın küresel olduğunu düşünürsek bu koordinatların ne kadar anlamlı olacağını daha iyi anlarız. Diğer yandan dalgaların yayılması, suyun hareketleri ve daha bir çok olayın aslında çemberler üzerinden ifade edildiğini görebilirsiniz. Bu nedenlerle kutupsal koordinatlar oldukça önemli.
Bu bölümde;
- Kutupsal koordinatlar hakkında temel kavramları
- Kutupsal koordinatlarda grafik çizimi
başlıklarını ele alacağız.
Sonuç olarak bölüm sonunda şu sorulara cevap verebileceksiniz; Kutupsal koordinat nedir? Kutupsal koordinat ne işe yarar? Kartezyen koordinattaki bir noktanın kutupsal koordinattaki karşılığı veya tersi nasıl bulunur? Kutupsal koordinatlarda eğri çizimi nasıl yapılır?