Diferansiyel Geometri

Geometri insanlığın tarihi kadar eski bir geçmişe sahip, matematiğin en önemli anabilim dallarından biridir. Matematiğin diğer anabilim dalları geometriden ayrı düşünülemeyeceği gibi geometri de diğer anabilim dallarından ayrı düşünülüemez. Geometriyi temel öklid geometrisi ve öklid dışı geometriler şeklinde ikiye ayırabiliriz. Öklid geometrisi lisede gördüğümüz, öğrendiğimiz geometridir. Bu geometri Öklid’în aksiyomlarına dayanmaktadır. Öklid dışı geometriler bu aksaiyomların kısıtlamalarını dışında oldukça geniş ve güçlü hayal gücü gerektiren geometrilerdir.

Bu geometrilerin de bir kısmı metriğe göre isim almaktadır. Örneğin taxicab geometri, Öklid metriği yerine maksimum metriğinin kullanılması ile oluşturulmuş bir geometridir. Küresel geometri küre üzerinde yapılan ve doğruları kürenin büyük çemberleri olan geometridir. Bu liste genişletilebilir. Bunun yanında geometriyi cebirsel olarak inceleyen cebirsel geometri alanı bulunmaktadır.

Geometrik yapılar üzerinde calculus kavramlarını kullanarak diferansiyel geometrinin temellerini Gauss atmıştır. Hala atıf almayı başarabilen Gauss’un ” Eğriler ve yüzeyler üzerinde genel araştırmalar ” isimli makalesi bu alanın öncü çalışmasıdır. Sonnrasında Riemann’ın sınırları zorlayarak Gauss’un düşüncelerini hayata geçirmesi ile manifold kavramı geometri dünyasına girmiştir. Riemann yüseylerin yüksek boyutlara genişlemesi olarak Almanca “Mannigfaltigkeit” terimini kullanmış ve bu terim William Kingdon Clifford tarafından “manifoldness” olarak çevrilmiştir.

Manifold her bir noktasının komşuluğu lokal olarak Öklid uzayına benzeyen geometrik yapıdır. Manifold genel bir geometrik uzay olup bilinen birçok geometrik yapıyı kapsamaktadır. Örneğin n boyutlu Öklid uzayının her açık alt kümesi bir manifolddur.

Devam edecek…

(Visited 25 times, 1 visits today)