Posts tagged Gauss eğriliği

Tüm bilimlerin gelecekteki anahtarı: Manifold!

 

-“Hocam, bunları bize neden anlatıyorsunuz ne işimize yarayacak ki?”

Yukarıdaki soru matematik öğretmenlerin en hoşlanmadığı sorudur. Zira bir matematikçi yaptığı işin işlerliğini düşünmez. Eğer öyle olsaydı bugün bilim bu noktaya gelemezdi. Gauss nerden bilebilir di ki ifade ettiği matematik sayesinde bugün bilgisayarlar veri analizi yapacak! O zaman bu soruya cevap vermek matematikçi için çok makul bir durum  olmaz. Ancak yine de biz matematikçiler bazen kendi merakımızın da etkisiyle bu soruya yanıt ararız. İşte bu sorunun muatabı olan konulardan biri de manifold kavramı. Riemann ın sistematik olarak ifade ettiği ve sonrasında gerek teorisi gerekse içeriği ile muzzam gelişen manifold kavramı bugün birçok bilimin temel ihtiyacı haline gelmiştir. Bu yazıda manifoldarın uygulamaları ve geleceği hakkında bildiklerimi sizlerle paylaşacağım.

 Manifold Nedir?

Bir manifold yerel olarak Öklidyen uzaydır. Bir manifoldu görselleştirmek için şu örnek verilebilir: piknik yapılan yerdeki küçük bir karınca piknik kalıntılarını topladığı alanları düz olarak görecektir. Ancak bu manzaraya yüksekten bakan biri aslında o bölgenin eğrilikli olduğunu görecektir. Yani lokal olarak düzdür. Benzer şekilde küre lokal olarak 2 - boyutlu Öklid düzlemi olup iki boyutlu bir manifolddur.

Manifold üzerinde harita dönüşümleri

Bir manifoldun formal tanımı şu şekildedir: M bir topolojik uzay olmak üzere M deki her noktanın bir komşuluğu n- boyutlu Öklid uzayındaki bir açık komşuluğa homeomorfik ise M ye n- boyutlu manifold denir. Bir M manifoldunun herbir p noktasının komşuluğunda manifolda teğet olan vektörlerin uzayı manifoldun tanjant uzayı olarak adlandırılır ve T_pM ile gösterilir. Eğer M üzerinde bir metrik (uzaklık fonksiyonu) tanımlı ise bu durumda M ‘ye bir Riemann manifoldu denir. Bazı şartlar altında bir Riemann manifoldu Öklid uzayının bir alt kümesi olarak düşünülebilir, bu durum Riemann manifoldunun Öklid uzayına gömülmesi olarak adlandırlır. Öklid uzayının yapısal araçları Riemann metriği yardımı ile manifold üzerine indirgenebilir.

Manifold bizlere metrikden bağımsız ve hatta topolojiden bağımsız geometri yapma olanağı sağlar. Örneğin

  • bir vektör uzayı bir manifolddur,
  • bir eğri 1-boyutlu bir manifolddur,
  • orijinden geçen doğrular kümesi (projektif uzay) bir manifolddur.

Bu liste genişletilebilir. Burada ilginç olan bir durum ise bu manifoldların hepsinin kendine has geometrisinin olmasıdır. Cebiri geometri ile, geometriyi cebir ile ; analizi geometri ile geometriyi analiz ile… birbirinden farklı gibi görünen bu alanların arasında zaruri bir ortaklık söz konusudur. İşte artık bu ortaklığın vazgeçilmez bir elemanı oldu: manifold. Analizci de artık manifold teorisi araçları kullanacak, hatta bu alana geometrik analiz adı veriliyor.

Bambaşka Bir Geometri 

Dedim ya manifoldun kendine has geometrisi var diye… Bu ne demek? İki nokta arasındaki en kısa uzaklık geometrik olarak ne belirtir?, diye sorsam “doğru” diyeceksiniz. Neden çünkü sizler Öklidçi geometriyle herşeyi görüyorsunuz. Oysa küre üzerinde iki nokta arası en kısa uzaklığın geometrik manası kürenin vüyük çemberleridir. O halde küre de doğrular büyük çemberlerdir. Bir manifoldun doğruların geodezikler denir.

 

Küre üzerinde geodezik üçgen, bu üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür.

Öklid uzayında doğrular ne ise manifold üzerinde de geodezikler o dur! Biz Öklid geometrisinde tüm şekilleri ve genel olarak tüm geometrik nesneleri doğrular yardımı ile ifade ediyoruz. Örneğin herhangi ikisi paralel olmayan 3 doğru ile bir üçgen elde edebiliriz. Aynı düşünceyi manifold içinde düşünebiliriz. Tabi bu durumda çok önemli farklar ortaya çıkar. Üçgenin iç açılarının toplamı 180 den farklı olabilir… İşte size Öklid dışı geometri!

Gauss, bir dahi, dünyanın gelmiş geçmiş en büyük bilim insanlarından biri! Ankara Üniversite sinden Cevat hocam “toprağın bol olsun Riccati” derdi, Riccati dif denk i anlatırken. “Euler i bilimden çıkartın dünya 100 yıl geriye gider” derdi. Bu sözler ve daha fazlası Gauss için az bile. O diferansiyel geometrinin kurucusudur ve bence manifold kavramının ilk yaratıcısıdır. Gauss için ne yazsak ne söylesek az. Biz konumuza devam edelim…

Gauss bir yüzeyin kendine has geometrisi olduğunu gösterdi ve eğrilik kavramını tanımladı. Sonra yüzeydeki bir üçgenin iç açıları ile bu eğrilik arasında bir bağlantı kurdu. Bu bağlantı yıllar sonra Bonnet tarafından yüzeyin topolojisi ile de ilişkilendirildi. Gauss-Bonnet teoremi ortaya çıktı: muhteşem! Gauss-Bonnet teoremi diferansiyel geometri ile topoloji arasındaki ilişkiyi sunan harikulade bir sonuç.

Burada K 2-boyutlu kompakt ve yönlendirilebilir Riemann manifoldunun Gauss eğriliği (teğet düzleminden uzaklaşma ölçüsü) , \partial M  M‘nin sınırı , k_g manifoldun sınırının geodezik eğriliği ve \chi(M) M‘nin Euler karakteristiğidir.  Gauss eğriliği manifoldun diferansiyel değişmezi (differomorfizmler altında invaryant kalıyor) ve Euler karakteristiği manifoldun topolojik değişmezidir (homeomorfizmler arasında invaryant kalıyor).

Detaylı bilgi için “Yüksek Lisans Tezim” okuyabilirsiniz.

 

Manifold Ne İşe Yarar

Peki bu kadar güçlü bir şekilde ortaya çıkan manifold doğada var mıdır? Kesinlikle evet! Başlıkta da ifade ettiğimiz gibi tüm bilim adamları ona başvuracak. Şimdi birlikte manifold uygulamalarına göz atalım.

  1. Genel relativite : Albert Einstein 1905 yılında özel relativite yi yayınladı. Einstein bu teoriyi uzun zamandır düşünüyordu ve çalışıyordu . Ancak güçlü matematik temellere ihtiyaç vardı. Tabii ki Öklid geometrisi buna yeterli gelmiyordu. Daha fazlasına ihtiyaç vardı. İşte Einstein in başvurması gereken alan Riemann geometrisiydi!
  2.  

Yandaki denklem Einstein alan denklemidir. Burada Rμν Ricci eğrilik tensörü, R skaler eğrilik, gμν metrik tensör , Λ kosmoloji sabiti,  G Newton gravitasyon sabiti , c ışık hızı , ve Tμν stres enerji tensörüdür (Tüm bu kavramları zaman içinde sayfamda bulcaksınız).  Bu denklemi sağlayan manifolda Einstein manifoldu adı verilmektedir. Einstein manifoldları diferansiyel geometricilerin de üzerinde yoğun olarak çalıştıkları bir alandır.

3. Bilgisayar Bilimi : 

Son zamanlarda bilgisayar bilimindeki gelişmeler giderecek daha çok matematiksel araca ihtiyaç duymaktadır. Hem problemin matematiksel modelinin yapılması hem de algoritmaların etkili ve hızlı olması daha geniş bir matematiksel perspektifin kullanılmasını gerektiriyor. İşte manifoldlar bilgisayar bilimindeki bu sorunun çözümünde başvurulan en güçlü matematiksel araç. 

  • Görüntü işlemede manifoldlar etkili bir biçimde kullanılmaktadır.  
  • Derin öğrenmede manifoldlar ve üzerindeki yapılardan yararlanılarak yeni CNN metodları geliştirilmiştir.
  • Manifold öğrenme veri madenciliği metodlarının üst düzeyde yapıldığı bir ver işleme yöntemidir. Son yıllarda hızla büyümektedir.