Posts tagged öklid dışı geometri

Öklid M.Ö 300’lerde yazmış olduğu elemanlar isimli 13 ciltlik eserinde, bir noktanın tarifinden başlayarak bugünkü matematiğin modern dilinin temellerini atmış ve geometri aksiyomlarını inşa etmiştir. Öklid sistematik bir biçimde objeleri tarif ederek birçok önemli teoremin ispatını sunmuştur. Öyle ki Öklid’in asal sayıların sonsuzluğu için verdiği ispat hala matematiğin en sade ve güzel ispatı olarak kabul edilir. Elemanlar kitabının önemi içerdiği geometri bilgilerinden daha çok bu bilgileri sistematik bir yapı içinde sunmasındadır . Her yeni bilgi sadece daha önce kanıtlanmış bilgiler kullanılarak ve belli bir akıl yürütme düzeni içinde kanıtlanır. Öklid öncelikle nokta, doğru ve düzlem gibi temel kavramları tanımlamış ve aşağıdaki beş aksiyomu doğru kabul etmiştir.

1. Herhangi bir noktadan başka herhangi bir noktaya bir doğru çizilebilir.
2. Bir doğru istenildiği kadar yine bir doğru olacak şekilde uzatılabilir.
3. Herhangi bir merkez ve bir uzunluk verildiğinde bir çember çizilebilir.
4. Bütün dik açılar birbirine eşittir.
5. Eğer bir doğru, iki doğruyu kestiğinde bu doğrunun aynı tarafındaki iç açılar iki dik açıdan küçükse, bu iki doğru o yönde uzatıldıklarında kesişir.

Bu beş aksiyom Öklid geometrisinin inşasını oluşturur. Tüm tanım ve teoremlerin ifade edilmesi ve ispatlanması bu aksiyomlara dayanılarak yapılır. Beşinci aksiyom “paralellik aksiyomu” olarak adlandırılır.

Aksiyoma göre a ve b açılarının toplamı iki dik açı toplamından küçükse l ve l’ doğruları açıların olduğu tarafta düzlemin bir noktasında kesişir.

Ancak bu durum matematiksel kesinlik açısından yeterli belirginliğe sahip değildir. Zira açıların seçimine bağlı olarak doğruların kesiştikleri noktayı tespit etmek mümkün değildir. Ayrıca bu aksiyom kesişmeyen doğrular paraleldir şeklinde ifade edilebilir. Oysa ki bazı eğrilerin grafikleri bir doğruya asimptotik olarak yaklaşmasına karşın (paralel değiller) hiçbir noktada kesişmezler. Örneğin y=1/x eğrisi x değerleri büyüdükçe oy-eksenine yaklaşır ancak asla kesişmez.

Paralellik aksiyomunun tutarlılığını ortaya koyabilmek ve Öklid geometrisini bu problemden kurtarmak için aksiyom, farklı şekillerde ifade edilmeye çalışılmış; daha iyi bir aksiyom ile değiştirilmesi düşünülmüş; diğer aksiyom ve önermelerden teorem olarak elde edilmek istenmiş ve matematikçilerin yüzyıllarca uğraştığı bir problem haline dönüşmüştür. Bu çalışmaların neticesinde paralellik aksiyomuna denk olan birçok yeni aksiyom ortaya konulmuş ancak bu çabalar paralellik aksiyomunu geçerli kılmakta işe yaramamış ve yeni geometrilerin doğmasına vesile olmuştur.

Tarih boyunca başta metamatikçiler olmak üzere birçok bilim insanının ispatlamak için yoğun çaba sarf ettiği beşinci postulat, bilime farklı bir yön vermiştir. İspatlanamayan veya ispatı mümkün olmayan bir kavramın olayın dışına çıkarılarak olaya bakılması sınırları zorlayan ve anlamlandırılması kolay olmayan bir durum olmuştur. İşte Öklid dışı geometri kavramı bu sınırları ezip geçmiştir!

Öklid dışı geometri fikri 5.postulatın olmadığı bir geometrinin düşünülmesi ile ortaya çıkmıştır. Bu postulatın kanıtlanamaması veya yerine kanıtlanabilen eşdeğer bir önermenin konulamaması, postulatın hiç olmadığı bir geometrinin de mümkün olup-olamayacağını düşündürmüştür. Bolyai ve Lobachevsky bu sorunu ele alarak farklı geometrileri ortaya koymuşlardır. Bu iki matematikçi birbirlerinden bağımsız olarak beşinci postulatın olmadığı, birbirlerine benzer geometriler inşa etmişlerdir. Ancak Lobachevsky Bolyai’den daha önce çalışmasını yayınlamıştır.

Öklid dışı geometrilerin ortaya çıkışı beraberinde bilimin cevap aradığı önemli problemlerin çözümü için gerekli araçların ortaya çıkmasını da getirmiştir. Gauss, Leibniz ve Newton’ın yaptıklarını yani kalkülüsü geometri ile birleştirerek diferansiyel geometrinin ortaya çıkmasını sağlamıştır. Böylece bir eğrinin eğriliği kavramını yüzeyler için de tanımlayarak, yüzeyin iç geometrisinin bulunduğu uzayın geometrisinden bağımsız olduğunu göstermiştir. Gauss’un bu tespiti “Theorema Egregium” yani muhteşem teorem olarak bilinmektedir. Gauss yüzeylerin iç geometrisi ile yüzeyin içerisinde yattığı uzayın geometrisi arasındaki eşitlikleri tanımlamış ve yüzeyler için eğrilikleri ortaya koymuştur. Bir yüzeyin üzerinde bir noktada teğet olan uzaydan (o nokta etrafında) uzaklaşma ölçüsü Gauss eğriliği olarak tanımlanır. Aslında burada eğrilik yüzeyin Öklid’yen olmaktan ne kadar saptığını göstermektedir. Gauss eğriliği yüzeyin diferansiyel deformasyonları altında (yani bir diferansiyellenebilir fonksiyon altında dönüştürülmesi) değişmez (invaryant) kalır. Bu özelliği onun yüzeylerin sınıflandırılmasında ne kadar önemli bir araç olduğunu gösterir.

Öklid dışı geometrilerin beşinci postulatın olmadığı geometriler olduğu durumu Gauss’un bu çalışmaları sayesinde farklı bir boyut kazanmıştır. Zira Gauss bir yüzeyin eğriliği ile o yüzey üzerindeki üçgenlerin iç açıları toplamı arasında ilişki kurmuş ve yüzeyleri sınıflandırabilmiştir.

Küre üzerindeki bir üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyüktür!

Geometri de nesnelerin uzaklıklarla ifade edilmesi Öklid geometrinin en temel özelliğidir. Ancak Euler’in sahneye çıkmasıyla bu algıyı değiştirecek önemli bir alan doğmuştur: Topoloji. Topoloji uzayların içerdiği noktalara göre ifade edilmesine vesile olan önemli bir kavramdır. Euler’in Königsberg köprü problemlerinin çözümsüzlüğü üzerine yaptığı ispatı aslında Öklid dışı geometrilerin ortaya çıkmasına benzerdir. Bu matematikte çözümsüz problemlerin olabileceğini ve bu çözümsüzlüğün çok önemli gelişmelere muktedir olacağını gösteriyordu.

Eulerin bu probleme yaklaşımı graf teoriyi doğurmuştur. Bu sorunu çözmek için ortaya koyduğu Euler karakteristiği daha sonra yüzeylere taşınmıştır. Bu karakteristik ile Gauss eğriliği arasında “Gauss-Bonnet Teoremi” olarak bilinen önemli bir ilişki vardır. Euler karakteristiği yüzeyin topolojik değişmezidir, yani topolojik dönüşümler (sürekli dönüşümler) altında değişmez kalmaktadır. Topolojik değişmezler uzayların sınıflandırılmasında kullanılan önemli araçlardır.

Gauss-Bonnet teoremi yüzeyin bir diferansiyel değişmezi olan Gauss eğriliği ile Euler karakteristiği arasındaki ilişkiyi vermektedir.

10 Haziran 1854 de, Riemann “Goemetrinin kaynağını oluşturan hipotez üzerine (On The Hypotheses Which Lie at The Foundations of Geometry)” isimli bir başlangıç dersi vermişti . Riemann bu dersi matematikçi olmayanların da algılayabileceği şekilde anlatabilmek için çok çalışmıştı. Ancak gerek içerdiği analitik yaklaşım ve gerekse düşüncesinin derinliği bakımından bu çok mümkün değildi. Öyle ki Gauss Riemann’ın düşüncesindeki derinliğe olan saygısını kendisinden umulmadık bir biçimde açıkça ilan etti. Turnbull büyük matematikçileri anlattığı eserinde Riemann’ın yaptığı çalışmayı şu şekilde ifade etmektedir; “Birkaç sayfalık çığır açan tezinde [Riemann], yalnızca herhangi bir boyuttaki uzay için geometriyi düşünmekle kalmadı, aynı zamanda, önceki üç geometri tipinin [Öklid, küresel ve Lobachevski] genel bir geometrinin özel örnekleri olduğunu gösterdi”. Böylece Riemann Öklid ve Öklid dışı geometrilerin genel bir halini ortaya koymuş oldu. Bugün bu geometri Riemann geometrisi olarak bilinmektedir. Riemann‘ın bu başlangıç dersinde fikirlerini analitik olarak derinlemesine incelediği ancak bu konu hakkında genel bir yazılı çalışma bırakmadığı bilinmektedir. Aslında Riemann geometrinin herhangi bir alanı ile alakalı çeşitli çalışmalar yaptı ve bu başlangıç dersi hayatı boyunca basılmadı. Bu gözlemlere dayanarak, Riemann’ın bir geometri olarak ününün romantik duygularla büyük ölçüde güçlendirildiği ve “Riemann” geometrisinin gerçek yaratıcılarının Helmholtz ve Beltrami olduğu ileri sürülebilir.

Riemann’ın bu dersi daha sonra 3 bölümden oluşacak şekilde yayınlandı: topolojik konular, metrik ilişkiler ve fiziksel uzaylara uygulamalar. Birinci bölümde Riemann , sürekli bir manifold kavramını sürekli bir yol boyunca birinden diğerine ilerlemenin mümkün olduğu nesneler topluluğu olarak tanımlar. Burada Riemann ölçüm yapmak için bazı standartlar olmadan sadece nicel ilişkileri dahil etmiştir. Riemann sürekli manifold tanımını vermiştir.

Riemann’ın n-boyutlu uzay tanımı o dönemde matematikçilere zor gelmiş olsa da çok boyutlu cebirde yapılan çalışmalar ile, n-boyutlu uzaylarda geometri yapmanın önü açılmıştır. Riemann herhangi bir sürekli manifoldu, orijinalinden daha küçük boyutta ya da bir boyutlu manifoldda incelemek için koordinatlar fikrini ortaya koydu. Yani Riemann konuşmanın birinci bölümünde sürekli manifold ve koordinatlar fikirlerini aktarmış oldu.

Dersin ikinci bölümü Riemann geometrisinin temellerinin ortaya konulduğu bölümdür. Hatta burada Riemann soyut formulasyonlardan dolayı üzüntü duyduğunu ve hepsinin geometrik yorumunu vereceğini ifade eder.

Ayrıca Riemann fikirlerinin Gauss’un “Disquisitiones generales circa superficies curvas (eğrilmiş yüzeylerin genel özellikleri)” isimli çalışmasına dayandığını belirtmiştir.

Sonuç olarak Riemann, Öklid dışı geometriyi beşinci postulat tartışmasının olmadığı daha analitik bir manzara muktedir bir zemine taşımıştır. Günümüzde bu kavramlar çok farklı boyut ve manalar kazanmıştır. Biz bugün Öklid dışı geometri tabirini nerdeyse hiç kullanmıyoruz. Sanki, bu geometriler doğal olarak varmışçasına onlarla uğraşıyor ve keyifle çalışıyoruz. Ancak bilmeliyiz ki bunları Riemann’a borçluyuz. Diğer yandan Riemann’ın bu konuda hiçbir çalışmasının olmaması da oldukça ilginçtir. Riemann’dan sonra bir çok bilim insanı Riemann geometrisine katkı sunmuştur. Geldiğimiz noktada Riemann geometrisi bir çok alanda uygulanmaktadır. Bu ise Öklid dışı geometrinin, uygulama kabiliyetine güzel bir örnektir.

Son cümlemiz şu olsun, “var ol Riemann!”…