Date Archives Ocak 2022

Matematiğin Modern Uygulayıcısı: Diferansiyel Geometri!

Matematiği pür ve uygulamalı olarak ikiye ayırma işi oldukça eski bir gelenek. Bu yazımızda uygulamalı matematik algısının artık değişmesi gerektiğine dair fikirlerimi diferansiyel geometri penceresinden paylaşacağım.

Uygulamalı Matematikçi Kimdir?

Uygulamalı matematik denildiğinde matematik sonuçların başka alanlara taşınması anlaşılmaktadır. Pür matematikçiler matematiği matematik için yaparken uygulamalı matematikçilerin diğer bilim ihtiyaçlarını da göz önüne aldıkları söylenebilir. Ancak uygulamalı matematikçiler de kendi aralarında ayrılmaktadır. Kimi uygulamalı matematikçiler yeni uygulamaların geliştirilmesi veya mevcut olanların daha da iyileştirilmesi için çalışırken kimileri ise diğer alanlardaki matematik modelleri çözme uğraşısı içerisindeler. Birinci grup aynı zamanda teorik sonuçlar da üretebilmektedir. İkinci grup ise hızlı ve anlaşılır ama matematik açısından çok kayda değer göülemeyecek neticelere erişebilmektedir. Diğer yandan operatör teorisi çalışanlara da uygulamalı matematikçi denilmektedir. Zira bu konular diferansiyel denklemler için aranacak çözüm metotlarını sistematik hale getirerek genelleştirmektedir. Sonuç olarak kabaca şunu söyleyebiliriz; uygulamalı matematik denildiğinde diferansiyel denklemlere çözümler üretecek çalışmalar yapılması anlaşılabilir. Aslında burada diferansiyel lafını kaldırırsak, her matematikçi bir çeşit denkleme çözüm arayışında olduğu varsayılırsa her matematikçinin bir uygulamalı matematikçi olduğu söylenebilir.

Diferansiyel Denklemlerin Evrimi

Bir diferansiyel denklem denildiğinde, içerisinde türev veya diferansiyel olan denklem anlaşılır. Newton-Liebnitz zamanına gidersek anlaşılması ve çözülmesi kolay birçok diferansiyel denklem ile karşılaşabiliriz. Newton fiziğinde bir çok diferansiyel denklem görebiliriz. Ancak bugün geldiğimiz noktada diferansiyel denklem kavramı çok başka bir noktadadır. Burada adi veya kısmi ayırımı yapmıyorum. Örneğin Einstein alan denklemi en güzel diferansiyel denklemlerden biridir. Diğer yandan eğrileri, yüzeyleri ve manifoldları çözüm kabul eden diferansiyel denklemler bulunmaktadır. Bu denklemleri çözebilmek veya çözümlerini yorumlayabilmek için ileri diferansiyel geometri teknikleri kullanıyoruz.

Diferansiyel Geometri Nedir?

Bilim dalları çeşitli özelliklerine göre alt dallara ayrılır. Matematik biliminin alt dalları şu şekildedir;

  • Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi
  • Topoloji
  • Cebir
  • Sayılar Teorisi
  • Uygulamalı Matematik
  • Geometri
  • Bilgisayar Bilimleri
  • Matematiğin Temelleri ve Lojik

Anabilim dalı sayısı üniversiteye göre değişkenlik gösterebilir. Ama birkaç tanesi her yerde aynıdır. En önemli anabilim dallarından biri geometridir. Geometri insanlığın tarihi kadar eski bir geçmişe sahiptir. Matematiğin diğer anabilim dalları geometriden ayrı düşünülemeyeceği gibi geometri de diğer anabilim dallarından ayrı düşünülemez. Geometriyi Öklid geometrisi ve Öklid dışı geometriler şeklinde ikiye ayırabiliriz. Öklid geometrisi en basit haliyle lisede gördüğümüz, öğrendiğimiz geometridir. Bu geometri Öklid’în aksiyomlarına dayanmaktadır. Öklid dışı geometri beşinci aksiyomun tartışmalarının bir sonucu olarak ortaya çıktı. Geometride en önemli kavramlardan biri metriktir. Öklid geometrisinde Öklid metriği kullanılır. Bildiğimiz üzere farklı metrikler de vardır. Bazı geometriler metriğe göre isim almaktadır. Örneğin taxicab geometri, Öklid metriği yerine maksimum metriğinin kullanılması ile oluşturulmuş bir geometridir.

Öklid dışı geometrilerim bir başka önemli örneği olan küresel geometri küre üzerinde yapılan ve doğruları kürenin büyük çemberleri olan geometridir. Bunların dışında, hiperbolik geometri ve projektif geometri gibi farklı geometriler bulunmaktadır. Listeyi daha da genişletebiliriz. Geometride metrik ile birlikte ortaya çıkan bir topoloji de mevcuttur. Bunun yanında geometriyi cebirsel olarak inceleyen cebirsel geometri alanı bulunmaktadır.

Gerek Öklid geometrisi gerekse Öklid dışı geometri kalkülüs araçları kullanılarak çalışılabilmektedir. Bu sisteme diferansiyel geometri adını veriyoruz. Yani, Diferansiyel geometri, geometrik nesnelerin diferansiyel ve integral hesap kullanılarak incelenmesi olarak tanımlanabilir.

Diferansiyel Geometriyi kimler geliştirdi? 

Diferansiyel geometrinin kurucusu Carl Friedrich Gauss olarak kabul edilir. Gauss eğrilerin ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi alanına önemli katkılar sunmuş ve yaptığı çalışmalar modern diferansiyel geometrinin temelini oluşturmuştur.  Hala atıf almayı başarabilen Gauss’un ” Eğriler ve yüzeyler üzerinde genel araştırmalar ” isimli makalesi bu alanın öncü çalışmasıdır. Sonnrasında Riemann’ın sınırları zorlayarak Gauss’un düşüncelerini hayata geçirmesi ile manifold kavramı geometri dünyasına girmiştir. Riemann yüseylerin yüksek boyutlara genişlemesi olarak Almanca “Mannigfaltigkeit” terimini kullanmış ve bu terim William Kingdon Clifford tarafından “manifoldness” olarak çevrilmiştir.  

Diferansiyel geometrinin uygulamaları nelerdir? Diferansiyel geometri ne işe yarar?

Diferansiyel geometrinin matematik, fizik, mühendislik ve tıp gibi hemen her alanda uygulamaları bulunmaktadır. Diferansiyel denklemlerin olduğu her alanda diferansiyel geometri kullanılabilir. Özellikle çözümleri Öklid dışı geometrik yapılar olan diferansiyel denklemler diferansiyel geometrinin daha ileri tekniklerinin uygulanabileceği alanlardır.

Bilgisayar biliminde diferansiyel geometri araçlarının kullanılması son yıllarda giderek yaygınlaşmaktadır. Eğriler ve yüzeylerin yanısıra son zamanlarda veri analizi, görüntü ve ses işleme, veri madenciliği gibi birçok alanda manifoldlar teorisi uygulamaları bulunmaktadır.

Bugün geldiğimiz noktada, diferansiyel geometrinin hemen her alanda uygulamasının olduğunu söylemek yanlış olmaz. Öyle ki bu uygulamalar uygulamalı matematik kavramının şeklini değiştirmiştir. Ancak, matematikçiler arasında bu kabulün henüz tam olarak yerleşmediğini söyleyebiliriz. Diferansiyel geometrinin artan öneminin kabullenilmesinin biraz daha zaman alacağı kanaatindeyim.

Zor görünen teoriler, anlaşıldığında bilime çağ atlatır!

Bugün hayatımızın her alanına nüfuz etmiş olan yapay zeka teknolojisinin teorik temelleri çok eskiye dayanmaktadır. Ancak bu gelişimin süreci bugünkü yapay zeka kullanımı ile kıyaslanırsa aradaki hız farkı asırlara bedel olur. Einstein in relativite teorisi ilk ortaya çıktığında çok az insan anlamıştı. Bugün gelinen noktada veri bilimine dahi ışık tutmaktadır. Manifold kavramı da anlaşılması kolay olmayan bir teoriyi barındırmaktadır. Ama bu eşik aşıldığında ise ortaya muazzam sonuçlar çıkmaktadır. Perelman Poincare sanısını diferansiyel geometri tekniklerini, Ricci flow diferansiyel denklemine uygulayarak çözmüştür ve matematik ile fizik başta olmak üzere bilim adeta çağ atlamıştır. Bu diferansiyel geometri daha ne çağlar atalatacak!

Diferansiyel geometri çalışmaları nelerdir? 

Ülkemizde diferansiyel geometri alanında oldukça güzel çalışmalar yapılmaktadır.  Sürekli olarak bu alanda çalışan genç bilim insanları yetişmektedir.  Her yıl uluslararası geometri sempozyumu düzenlenmekte ve bu sempozyumda en çok çalışma yine diferansiyel geometri alanında yapılmaktadır.  Matematik bölümlerinin tamamında olmasa da büyük bir bölümünde diferansiyel geometri alanında doktora yapmış hocalarımız bulunmaktadır.  Ben diferansiyel geometri çalışmalarına olan ihtiyacın her geçen gün daha da artacağı kanaatindeyim.  Bu nedenle genç matematikçi arkadaşlarımı diferansiyel geometri alanında bilimsel çalışma yapmaya teşvik etmek yanlış olmaz.  yavrum

 Sonuç olarak diferansiyel geometri matematiğin en önemli çalışma alanlarından biridir.  Çalışılması çok kolay olmasa da oldukça eğlenceli olduğunu söyleyebilirim. Bu önemli çalışma alanına yönelecek tüm arakdaşlara başarılar dilerim. Sorularınızı ve yorumlarınızı iletebilirsiniz. 

Matematikle kalın!